Tübitak Lise 2. Aşama 2019 Soru 1

[geo]

$a, b, c$ pozitif gerçel sayıları $$(\sqrt {ab}-1)(\sqrt{bc} - 1)(\sqrt {ca} - 1)=1$$ şartını sağlıyor. $$a - \dfrac bc,\  a - \dfrac cb,\ b - \dfrac ca, \  b - \dfrac ac, \  c - \dfrac ab,\  c - \dfrac ba$$ sayılarının en çok kaçı $1$ den büyük olabilir?

[Erdal1122]

Cevap: $\boxed{4}$

$A.O.$$\geq$$G.O.$ eşitsizliğinden

$(\sqrt{ab}-1)^2$$\geq$$(a-1)(b-1)$

$(\sqrt{bc}-1)^2$$\geq$$(b-1)(c-1)$

$(\sqrt{ac}-1)^2$$\geq$$(a-1)(c-1)$

Taraf tarafa çarparsak

$-1$$\leq$$(a-1)(b-1)(c-1)$$\leq$$1$ *

İfadeleri $a - \dfrac bc,\ b - \dfrac ca,\  c - \dfrac ab$ ve $\  a - \dfrac cb, \  b - \dfrac ac, \  c - \dfrac ba$ olarak üçerli gruplandıralım.
Varsayalım ki $a - \dfrac bc,\ b - \dfrac ca,\  c - \dfrac ab$ elemanlarından hepsi $1$'den büyük olsun.

$a-1>\dfrac bc$

$b-1>\dfrac ca$

$c-1>\dfrac ab$

olacaktır. Taraf tarafa çarparsak

$(a-1)(b-1)(c-1)$$>$$1$

elde edilir ki bu * ile çelişir. Aynı işlemleri grupladığımız diğer üçlü için de yaparsak çelişki yine görülebilir. Her iki üçlüden de en az birer eleman birden küçük veya eşit olacağından maksimum $4$ tane eleman için bu sağlanabilir. $4$ eleman için sağlanacağını gösterirsek soru biter. Daha sade ifadeler elde etmek için $a$$\geq$$b=c$ kabul edelim. Bu durumda

$a - \dfrac bc, \  a - \dfrac cb, \ b - \dfrac ca, \  c - \dfrac ba>1$ ve $\  b - \dfrac ac, \  c - \dfrac ab<1$

olur. Bu eşitsizliklerden elde edilebilecek bilgiler

$a>2$, $\ b - \dfrac ba>1$, $\ b - \dfrac ab<1$

Ayrıca $b$$\leq$$2$ olmalıdır. Aksi takdirde  $$(\sqrt {ab}-1)(\sqrt{bc} - 1)(\sqrt {ca} - 1)=1$$ eşitliği için bu sorun teşkil edecektir.
Şimdi $\ b - \dfrac ba>1$, $\ b - \dfrac ab<1$ eşitsizliklerini düzenleyip $a$'yı tek bırakırsak $ab-b>a>$ $b$²$-b$. Ana denklemden elde ettiğimiz $\sqrt{a}=$$\frac{1} {\sqrt{b}}+$$\frac{1} {\sqrt{b(b-1)}}$ eşitliğini eşitsizlik için uygularsak oluşan yeni eşitsizlikte zaten $b$ $\leq$$2$ olduğundan $b=c=\dfrac 32$, $a=2+\frac {4\sqrt{2}}{3}$'ün sağladığı denenerek görülebilir.

[Eray]

Cevap: $\boxed{4}$

$A.O.$$\geq$$G.O.$ eşitsizliğinden

$(\sqrt{ab}-1)$²$\leq$$(a-1)(b-1)$

$(\sqrt{bc}-1)$²$\leq$$(b-1)(c-1)$

$(\sqrt{ac}-1)$²$\leq$$(a-1)(c-1)$

Taraf tarafa çarparsak

$(a-1)(b-1)(c-1)$$\geq$$1$ *

Buradaki eşitsizliklerin yönü ters olmalı.

Ayrıca, taraf tarafa çarpım yapıp $\left[(a-1)(b-1)(c-1)\right]^2\ge1$ elde ettikten sonra iki ihtimal söz konusu:

• $(a-1)(b-1)(c-1)\ge1$
• $(a-1)(b-1)(c-1)\le-1$

$a-1>\dfrac bc$

$b-1>\dfrac ca$

$c-1>\dfrac ab$

olacaktır. Taraf tarafa çarparsak

$(a-1)(b-1)(c-1)$$<$$1$

elde edilir

Buradaki son eşitsizliğin yönü de ters olmalı.

[Erdal1122]

Düzeltmeler için teşekkürler.