(L. Gökçe)
$x^3-8=3^y7^z$ yazıp iki küp farkından $(x-2)(x^2+2x+4)=3^y7^z$ şeklinde çarpanlara ayıralım. $a$ ve $b$ gibi iki pozitif tamsayının en büyük ortak bölenini $(a,b)$ ile gösterirsek her $n$ tamsayısı için Euclid algoritması olarak bilinen $(a,b)=(a,b-na)$ eşitliği vardır. Buna göre $(x-2,x^2+2x+4)=(x-2,12)$ olduğu kolaylıkla görülebilir. Ancak $3^y7^z$ ifadesi $2$ ile bölünmeyeceğinden $(x-2,12) \neq 2,4,6,12$ dir. O halde $(x-2,12)=1$ veya $3$ olabilir.
1. Hal: $(x-2,x^2+2x+4)=1$ durumunu inceleyelim.
$x-2=1,x^2+2x+4=3^y7^z$ için $x=3$ olur fakat $3^y7^z=19$ denkleminin çözümü yoktur.
$x-2=3^y,x^2+2x+4=7^z$ denklemleri $\mod 3$ te incelenirse çelişki elde edilir. Çözüm yoktur.
$x-2=7^z,x^2+2x+4=3^y$ için $(x+1)^2=3^y-3$ olur. $(x+1)^2$ sayısı $3$ ile bölünebilmesine rağmen $9$ ile bölünemediğinden çözüm yoktur.
2. Hal: $(x-2,x^2+2x+4)=3$ durumunu inceleyelim. Bu hal için $y\geq 2$ olmalıdır.
$x-2=3,x^2+2x+4=3^{y-1}7^z$ için $x=5$ olur fakat $3^{y-1}7^z=39$ denkleminin çözümü yoktur.
$x-2=3\cdot 7^{z},x^2+2x+4=3^{y-1}$ için $(x+1)^2=3^{y-1}-3$ olur. $(x+1)^2$ sayısı $3$ ile bölünebilmesine rağmen $9$ ile bölünemediğinden çözüm yoktur.
İncelememiz gereken son alt durum $x-2= 3^{y-1},x^2+2x+4=3\cdot 7^z$ dir. $y$ çift sayı iken $x \equiv 1 \pmod{4}$ ve $y$ tek sayı iken $x \equiv 3 \pmod{4}$ tür. Her iki durumda da $x^2+2x+4 \equiv 3 \pmod {4}$ olduğundan $3\cdot 7^z \equiv 3 \pmod {4}$ olur. Bu ise $z$ nin çift sayı olması demektir. $z=2n$ diyelim. $x^2+2x+4=3\cdot 7^z$ denkleminde $x=3^{y-1}+2$ yazarsak $3^{2y-2}+2\cdot 3^{y-1} + 4 + 2\cdot 3^{y-1} + 4 + 4 =3\cdot 7^{ 2n}$ olup düzenlersek $3^{2y-3}+2\cdot 3^{y-1} =7^{ 2n}-4$ olur. İki kare farkından $3^{y-1}(3^{y-2}+2)=(7^n-2)(7^n+2)$ olur. $7^n-2\equiv 2 \pmod{3}$ olduğundan $3^{y-1} \not | (7^n -2) $ dir. Aralarında asallıktan dolayı $3^{y-1}\cdot k =7^n+2$ ve $\dfrac{3^{y-2}+2}{k} = 7^n -2$ olur. Taraf tarafa çıkararak $7^n$ terimlerini yok edersek $3^{y-2}= \dfrac{4k+2}{3k^2-1}$ denkleminin yalnızca $k=1$ için $y=3$ şeklindeki çözümü vardır. Bu değere karşılık $n=1$, $z=2$, $x=11$ elde edilir.
Denklemin tek çözümü $(x,y,z)=(11,3,2)$ dir.
