Tübitak Lise 2. Aşama 2014 Soru 1

[Eray]

Bir torbada üstlerine $1$ den $2014$ e kadar tam sayılar yazılmış $1007$ siyah ve $1007$ beyaz top bulunuyor. Her adımda torbadan $1$ top çekerek masanın üstüne koyuyoruz ve istersek, o an masanın üstünde bulunan toplardan farklı renklerdeki herhangi ikisini seçip diğer bir torbaya koyabiliyoruz. Bunu yaparsak, bu iki topun üstlerinde yazılı olan sayıların farkının mutlak değeri kadar puan kazanıyoruz. $2014$ adım sonunda en fazla kaç puan toplamayı garantileyebileceğimizi belirleyiniz.

(Azer Kerimov)

[nk6]

Cevap $1007^2 =(2014+\ldots +1008)-(1+\ldots +1007)$ dir, daha fazla olamayacağı toplamdan dolayı açıktır ($1007$ adet pozitif sayı ile $1007$ adet negatif sayının toplamından oluşacağından)

Topları en fazla $1007$ olan beyazlar $KB$, en fazla $1007$ olan siyahlar $KS$, en az $1008$ olan beyazlar $BB$ ve en az $1008$ olan siyahlar $BS$ olmak üzere dört grupta inceleyelim. $KB$ ile $BS$ nin, $KS$ ile de $BB$ nin eleman sayılarının aynı olduğu görülebilir ($|KB|=1007-|BB|=|BS|$). Bu grup ikililerini birbiriyle eşleyip ikisinin elemanlarını beraber çıkaracağız. Bu şekilde tüm topları çıkarabiliriz, çünkü çıkarabildiğimiz bir ikili oluşmadan en fazla $1007$ top çekebiliriz, diğer $1007$ hamlede ortadaki topları çıkararak tüm topları çıkarmış oluruz, istenen toplamın elde edildiği açıktır, ispat biter.