Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 5

[geo]

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geq M(ab^2 + bc^2 + ca^2 - 3abc)$$ olmasını sağlayan en büyük $M$ gerçel sayısını belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

Genelliği bozmadan $a$ bu sayıların en küçüğü olsun. $b=a+u$ ve $c=a+v$ ve $u,v \ge0$ olsun. Buradan $a^3+b^3+c^3-3abc-{M(ab^2+bc^2+ca^2-3abc)}=a(3-M)(u^2-uv+v^2)+u^3-Muv^2+v^3 \ge 0$ elde edilir. $a=b=2,c=1$ için $3 > \dfrac{5}{2} \ge M $ olur. Ayrıca $u^2-uv+v^2 \ge 0$ dır. $a(3-M)(u^2-uv+v^2) \ge 0$ idir. $A.G.O$ dan $u^3+v^3=u^3+2\cdot\left(\dfrac{v^3}{2}\right)\geq\dfrac{3}{\sqrt[3]4}uv^2$ olduğundan $\dfrac{3}{\sqrt[3]4} \ge M$ elde edilir. Ancak eşitlik durumu bulamadım. Yardımcı olabilecek varsa sevinirim.