Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 2

[geo]

$m$ pozitif bir tam sayı olsun.

• $1+km^3$ sayısının bir tam küp olmasını ve $1+kn^3$ sayılarının hiçbir $n<m$ pozitif tam sayısı için bir tam küp olmamasını sağlayan sonsuz çoklukta $k$ pozitif tam sayısı bulunduğunu kanıtlayınız.
• $p \equiv 2 \pmod 3$ koşulunu sağlayan bir $p$ asal sayısı ve bir $r$ pozitif tam sayısı için, $m=p^r$ ise, $(a)$ kısmındaki koşulu sağlayan tüm $k$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

(Şahin Emrah)