Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 1

[geo]

$[AB]$ çaplı bir $\omega_1$ çemberi ile $A$ merkezli bir $\omega_2$ çemberi $C$ ve $D$ noktalarında kesişiyor. $\omega_2$ çemberinin üstünde, $\omega_1$ çemberinin dışında ve $AB$ doğrusuna göre $C$ ile aynı tarafta yer alan bir $E$ noktası için, $BE$ doğrusu $\omega_2$ çemberini ikinci kez $F$ noktasında kesiyor. $\omega_1$ çemberinin üstünde ve bu çemberin $C$ den geçen çapına göre $A$ ile aynı tarafta olan bir $K$ noktası $2|CK| \cdot |AC| = |CE| \cdot |AB|$ koşulunu sağlıyor. $KF$ doğrusu $\omega_1$ çemberini ikinci kez $L$ noktasında kesiyor.
$D$ noktasının $BE$ doğrusuna göre simetriğinin, $L$, $F$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin üstünde olduğunu kanıtlayınız.

(Şahin Emrah)

[geo]

$AB$ çaplı çemberin merkezi $O$, $D$ nin $BE$ ye göre simetriği $D'$, $CD$ nin orta noktası $M$, $DD'$ ün orta noktası $N$ olsun.
$AC=AE=r$ ve $KO=KC=R$ olsun. Sorudaki eşitlikten $CK/EC=R/r$ elde edilecektir. Bu da $\triangle EAC \sim \triangle KOC$ demektir.
$\angle EAC = \angle KOC =2\alpha$ ise, $\angle KDC = \angle EDC = \alpha$ dolayısıyla da $E$, $K$, $D$ noktaları doğrusal olacaktır.

$\angle EKC = 2\theta$ dersek, $\angle ECK = 90^\circ - \theta$ ve $\angle KCD = 2\theta - \alpha$, dolayısıyla da $\angle ECD = 90^\circ + \theta - \alpha = \angle EFD$ olacaktır. $\angle FND = 90^\circ$ olduğu için, $\angle FDN = \theta - \alpha$ ve $DN=ND'$ olduğu için de $\angle FD'N = \theta - \alpha$ dır.
$\angle EKC = 2\theta$ demiştik. Bu durumda $\angle CBD = 2\theta$ ve $\angle MBD = \theta$ dır.
$\angle DMB = \angle DNB = 90^\circ$ olduğu için $D,M,N,B$ noktaları çembersel, yani $\angle MND = \angle MBD = \theta$ olacaktır.
$CM=MD$ ve $DN=ND'$ olduğu için $MN \parallel CD'$ ve $\angle CD'D = \angle MND = \theta$ dır.
$\angle FD'D = \theta - \alpha$ olduğunu göstermiştik. Bu durumda $\angle CD'F = \angle CD'D - \angle FD'D = \alpha = \angle CLK$ olduğu için $C$, $D'$, $L$, $F$ noktaları çemberseldir.