$7$ kişiden $3$ lü gruplar $\binom{7}{3} = 35$ farklı şekilde oluşturulur.
Bu $35$ gruptan her gün biri çağırılırsa, sırayı gözetmeksizin $\binom{35}{7}$ farklı şekilde arkadaş grupları yemeğe çağırılabilir.
Bu $7$ li gruptan bazıları $7$ arkadaşın hepsini birden içermeyebilir.
$1$ arkadaşın içerilmediği $7$ li grupların sayısını hesaplayalım:
İçerilmeyecek arkadaş $\binom{7}{1}$ farklı şekilde seçilir.
Kalan $6$ arkadaş, $\binom{6}{3} = 20$ farklı grup oluşturabilir. Bu $20$ gruptan $7$ grup $\binom{20}{7}$ farklı şekilde seçilir.
$2$ arkadaşın içerilmediği $7$ li grupların sayısını hesaplayalım:
İçerilmeyecek arkadaşlar $\binom{7}{2}$ farklı şekilde seçilir.
Kalan $5$ arkadaş, $\binom{5}{3} = 10$ farklı grup oluşturabilir. Bu $10$ gruptan $7$ grup $\binom{10}{7}$ farklı şekilde seçilir.
$3$ veya daha çok arkadaşın içerilmediği durumda, kalan $4$ veya daha az arkadaş $\binom{4}{3} = 4$ veya daha az grup oluşturacağı için bunlardan $7$ li grup oluşturulamaz.
O halde, İçerme-Dışarma ilkesine göre, sıra gözetmeksizin $7$ arkadaş $3$ lü gruplar halinde $7$ gün boyunca her biri en az $1$ kez çağrılmak üzere, $$\binom{35}{7} - \binom{7}{1}\cdot \binom{20}{7} + \binom{7}{2}\cdot \binom{10}{7}$$ farklı şekilde çağırılabilir.
Çağırılan gruplar kendi aralarında $7!$ şekilde günlere dağıtılacağından, cevabımız $$7! \cdot \left [ \binom{35}{7} - \binom{7}{1}\cdot \binom{20}{7} + \binom{7}{2}\cdot \binom{10}{7} \right ].$$
