Önce şunu fark edelim:
$$ \dfrac ab < \dfrac {a+c}{b+d} < \dfrac cd$$
Önce soldaki eşitsizliği taraf tarafa çarpınca $ab+ad < ab + bc \Rightarrow ad < bc$,
Sonra sağdaki eşitsizliği taraf tarafa çarptığımızda $ad+cd < bc+cd \Rightarrow ad < bc$ elde ederiz ki bu da $\dfrac ab < \dfrac cd$ den dolayı açık.
Bu mantıkla $\dfrac{59}{80} < \dfrac{59+45}{80+61} = \dfrac {106}{141} <\dfrac{45}{61}$ olacaktır.
İddia: $bc-ad = 1$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d, p, q$ pozitif tam sayıları için $$ \dfrac ab < \dfrac pq < \frac cd$$ olabilmesi için
- $q \geq b+d$
- $q = b+d \Longrightarrow p = a+c$
- $q>b+d \Longrightarrow q \geq b+d + \min (b,d)$
olması gerekir.
İspat:- Soldaki eşitsizlik $0 < \dfrac pq - \dfrac ab = \dfrac {bp-aq}{bq}$ şeklinde yazılabilir. Paydası $bq$ olan en küçük kesir $\dfrac {1}{bq}$ olduğu için bir önceki eşitsizliği $0 < \dfrac {1}{bq} \leq \dfrac {bp-aq}{bq} = \dfrac pq - \dfrac ab$ olacaktır.
Aynılarını sağ taraf için yaparsak $0 < \dfrac cd - \dfrac pq = \dfrac {cq - dp}{dq}$, paydası $dq$ olan en küçük kesirden $ 0 < \dfrac {1}{dq} \leq \dfrac {cq - dp}{dq} = \dfrac cd - \dfrac pq$ olur.
Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak $ \dfrac {1}{bq} + \dfrac {1}{dq} \leq \dfrac cd - \dfrac ab = \dfrac {bc-ad}{bd} = \dfrac 1{bd}$ elde ederiz. Biraz düzenlemeyle $\dfrac {b+d}{bdq} \leq \dfrac {1}{bd} \Rightarrow b+d \leq q$ olacaktır.
$q = b+d$ yazıp eşitsizlikleri $p$ ye göre $ \dfrac {a(b+d)}{b} < p < \dfrac {c(b+d)}{d}$ şeklinde düzenleyip sol taraf için $ad = bc - 1$ şeklinde sağ taraf için de $bc = ad + 1$ şeklinde değişken değiştirirsek $$\dfrac {ab + bc - 1}{b} = a+c - \dfrac 1b< p < \dfrac {ad + 1 + cd}{d} = a+ c + \dfrac 1d$$ elde ederiz. Son eşitsizliği şöyle yeniden yazabiliriz: $$ a + c -1 < a+c - \dfrac 1 b < p < a+c + \dfrac 1d < a+c +1.$$ $a+c-1$ ile $a+c+1$ arasındaki tek tam sayı $a+c$ olacağından $q=b+d \Longrightarrow p=a+c$ bulunur.
- $\frac pq$ kesrini yine tam sayılı kesir olması için en $2$ ile genişletmemiz gerekir. Bu durumda $q=b+d$ ise, genişletildiğinde $q' = 2b+2d$ olacaktır. Bu kesrin haricinde $\dfrac ab$ ile $\dfrac cd$ arasında başka kesirler de var. $$\dfrac ab < \dfrac {p_1}{q_1} < \dfrac {a+c}{b+d} < \dfrac {p_2}{q_2} < \dfrac cd $$ $(b+d)c-(a+c)d = 1$ ve $(a+c)b-(b+d)a = 1$ olduğu için $(a)$ şıkkı gereği $q_1 \geq b + (b+d)$ ve $q_2 \geq d+ (b+d) $ olacaktır.
Bu durumda $q', q_1, q_2$ sayılarından en küçüğü $q = b+d + \min (b,d)$ olacağı için $q>b+d$ ise bir sonraki $q$ tam sayısı $b+d + \min (b,d)$ ye eşit olacaktır.
$\blacksquare$
Bu durumda $a=59$, $b=80$, $c=45$, $d=61$ için $bc - ad = 3600 - 3599 = 1$ olduğu için söz konusu iki kesrin arasındaki $\dfrac pq$ kesrinde $q$ en az $80+61 = 141$ oluyor. $q=141$ olduğunda da $p=59+45=106$ oluyor. Bir sonraki bu şartları sağlayan en küçük $q$ değeri $q = 80+61+61 = 202$ olacağından $0<q<200$ aralığında tek çözüm $(141,106)$ dır.
Not:Soruda uyguladığımız lemma
IberoAmerican 1988/2'de karşımıza çıkıyor.
Biraz farklısının daha genel hali de
Lise 2. Aşama 1991/4'te sorulmuş.
