Tübitak Lise 2. Aşama 1988 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Ardışık üç pozitif tamsayının çarpımının hiçbir zaman bir tamsayının birden büyük bir kuvvetine eşit olamayacağını gösteriniz.

[alpercay]

Sayıları  $ n,n+1 $  ve  $n+2 $ ile gösterelim ve varsayalım ki bu sayıların çarpımı bir tam kuvvete eşit olsun.Ardışık sayılar aralarında asal olduklarından  $(n,n+1)=(n+1,n+2)=1 $ ve dolayısıyla $(n+1,n(n+2))=1 $ dir.Sayıların çarpımı tam kuvvete eşit olacağından $n+1$  ve $n(n+2)$ sayıları tam kuvvete eşit olmalıdır.
$n+1=a^m$   ve  $n(n+2)=b^m$   , $(a,b,m \in Z,m\geq2)$  olsun.
$(a^2)^m-b^m=(n+1)^2-n(n+2)^2=1$   veya   $a^2=t$ dersek
$t^m-b^m=1$  elde edilir.Ancak pozitif iki tam kuvvetin farkı daima  $1$ den büyük olacağından bu mümkün değildir.O halde ardışık üç tam sayının çarpımı tam kuvvet olamaz.