(Muhammed Zahid Öztürk)
Cevabımız $4019$. Eğer $n\geq5$ ise $n$-gen için cevabın $2n-1$ olduğunu göstereceğiz.
$A$ bir kesişimli küme olsun öyle ki $\left|A\right|\ge n$. $A$'daki köşe sayısı doğru parçası sayısından büyük olmayacağından $A$ bir döngü içerir. Bunu anlamak için tersini düşünelim. Bir döngü içermese bir ağaç olması gerekirdi, fakat $n$ köşeli bir ağaçta en fazla $n-1\ $kenar olabilir. Bu yüzden bir döngü kesin vardır. $PQ$ ve $QR$ bu döngüde iki doğru parçası olsun. Döngüdeki her doğru parçası, $XP$ ve $RY$ hariç, $PQ$ ve $QR$'nin ikisini birden kendi iç noktalarında keser. Bundan dolayı her doğru parçası $PQ$ ve $QR$ ye göre karşıdan karşıya geçmektedir. Burada döngünün tek sayıda doğru parçası içerdiğini ve döngüdeki köşelerden hiçbirinin $\angle PQR$ açısının iç bölgesinde olmadığını çıkarırız.
Şimdi bu döngüdeki köşelimizi adlandıralım. Döngümüzde $k$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $2k+1$ tane köşe olduğunu kabul edelim. Bu köşeler $P_1,P_2,\dots ,P_{2k+1}$ olsun. Bu köşeleri saat yönünde sıralandırmış olmak için döngüdeki doğru parçalarının $P_iP_{i+k}$, $P_iP_{i+k+1}$ olduğunu $1\le i\le 2k+1$ için (İndisler $\bmod n$'e göredir) kabul edeceğiz. (Her doğru parçasının $PQ$ ve $QR$ ye göre karşılıklı olmasının doğal sonucu) Bu doğru parçalarını $A^*$ ile gösterelim. Burada $2k+1$ tane doğru parçası olduğuna dikkat edelim. $A$ bir kesişimli küme olduğundan $A$'daki diğer doğru parçaları ancak $XP_i$ formunda olabilir; $X$, $\angle P_{i+k+1}P_iP_{i+k}$ açısının iç bölgesinde bir köşe. $\left|A\right|\ge n$ olduğundan tüm böyle doğru parçaları ($A^{\Delta }$ ile gösterelim) $A$'ya ait olmak zorundadır. Çünkü bu köşe döngüden sadece bir köşeye bağlı olabilir ya da başka bir deyişle döngümüzü kurarken elimizdeki tüm doğru parçalarını toplarsak da $n$ sayısına ancak ulaşabiliriz. Bu nedenle eğer $A$ bir kesişimli küme ve $\left|A\right|\ge n$ ise ve $\left|A\right|=n$' dir ve $A=A_{\left(P_1,P_2,\dots ,P_{2k+1}\right){\rm \ }}={\rm \ }A^*\cup A^{\Delta }$.
Şimdi göstereceğiz ki eğer $A$ ve $B$ kesişimli kümeler ve ${\rm \ }\left|A\right|=n{\rm =}\left|B\right|$ ise $A$ ve $B$ ayrık olamaz. Ayrık olduklarını varsayalım. Her köşenin bağlı olduğu en az bir köşe olduğundan şöyle bir varsayımda bulunabiliriz. $Q_1Q_2,Q_2Q_3,\dots ,Q_{m-1}Q_m,Q_mQ_1$ bir döngü olsun öyle ki $Q_iQ_{i+1}$ doğru parçaları $i$ tekse $A$'ya, $i$ çiftse $B$'ye ait olsun.$\ \left(Q_{m+1}=Q_1\right)$ Öyle bir döngü vardır ki çokgenin her köşesi $A$ ve $B$'den en az birer doğru parçasının bitiş noktasıdır. $A$ ve $B$ kesişimli olduğundan tüm $Q_iQ_{i+1}$' ler $i$ tekse $Q_1Q_2$'yi, $i$ çiftse $Q_2Q_3$'ü keser. Bu nedenle $i$ çift ise tüm $Q_i$'ler ya $Q_1Q_2$'nin üzerindedir ya da $Q_1Q_2$'ye göre $Q_3$ ile farklı taraftadır. Ve $i$ tek ise tüm $Q_i$'ler ya $Q_2Q_3$'ün üzerindedir ya da $Q_2Q_3$' ye göre $Q_1$ ile farklı taraftadır. $m$ tektir ve $Q_1$ ${\rm \ }A^*$ 'ın bir köşesidir. O zaman $Q_3$ ya $Q_mQ_1$'in üzerindedir ya da $Q_mQ_1$' e göre $Q_2$ ile farklı taraftadır. Ve $Q_{m-1}$ ya $Q_1Q_2$' nin üzerindedir ya da $Q_1Q_2$'e göre $Q_m$ ile farklı taraftadır. $XQ_1$, $B$'ye ait bir doğru parçası olsun. $XQ_1$, $Q_2Q_3\ $ve $Q_{m-1}Q_m$'in ikisini de kesmek zorundadır ve $B$'ye aittir. O halde $X$ çokgende $Q_2$ ve $Q_m$ arasındadır. Fakat bu durumda $XQ_1$ aynı zamanda $A^{\Delta }$ 'ya ve bu nedenle $A$'ya aittir. Çelişki!
Son olarak eğer $P,Q,R,S,T$ çokgende beş ardışık köşe ise, $A_{\left(P,Q,R\right)}\cup A_{\left(R,S,T\right)}$ $2n-1$ doğru parçası içerir.
