(Burak VARICI)
$P\left(x\right)=ax^2+bx$ için $Q\left(x\right)=cx^2+dx$ vardır ancak ve ancak $2^8\cdot {1005}^9 | a$ ve $\left(2010,b\right)=1$ olduğunu ispatlayacağız. Böylece cevabımız:
$2\cdot{2010}^9\cdot{2010}^{18}\cdot \left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1-\dfrac{1}{67}\right)=2^5\cdot 3 \cdot 11 \cdot {2010}^{26}$ olacak.
Her $n$ için $Q\left(P\left(n\right)\right)\equiv n\ \pmod {2010^{18}}$ olduğunu varsayalım. $n\mapsto P\left(n\right)$ $\bmod{2010^{18}}$'de birebirdir. Çinli Kalan Teoremini kullanırsak, her $p\in \ \left\{2,3,5,67\right\}$ için $n\mapsto P\left(n\right)$ 'in $\bmod{p^{18}}$ 'de birebir olduğunu buluruz.
$p\in \ \left\{2,3,5,67\right\}$ olsun. Eğer $p|b$ ise $P\left(p^{17}\right)\equiv P\left(0\right)\ \pmod{p^{18}}$ ki bu bir çelişkidir. Böylece $p\nmid b$. Eğer $p\nmid a$ ise $P\left(-a^{-1}b\right)\equiv P\left(0\right)\ \left(mod\ p^{18}\right)$ ki bu da bir çelişkidir. Böylece $p|a$. Bu nedenle $2010|a$ ve $\left(2010,b\right)=1$. \[Q\left(P\left(1\right)\right)\equiv \ 1\ \Longrightarrow \ \ c{\left(a+b\right)}^2+d\left(a+b\right)\ \ \equiv \ \ 1 \tag {1}\] \[Q\left(P\left(-1\right)\right)\equiv -1\ \Longrightarrow \ \ c{\left(a-b\right)}^2+d\left(a-b\right)\ \ \equiv \ -1 \tag {2}\] $\left(1\right)$'i $\left(a-b\right)$ ile, $\left(2\right)$'yi $\left(a+b\right)$ ile çarpıp çıkarırsak $2b\left(a^2-b^2\right)c\ \equiv 2a\ \pmod {2010^{18}}$;
$\left(1\right)$'i ${\left(a-b\right)}^2$ ile, $\left(2\right)$'yi ${\left(a+b\right)}^2$ ile çarpıp çıkarırsak $2b\left(a^2-b^2\right)d\ \equiv -2\left(a^2+b^2\right) \pmod {2010^{18}}$ elde ederiz.
${\left(b\left(a^2-b^2\right)\right)}^{-1}\ \pmod {2010^{18}}$' in var olduğunu biliyoruz. O halde
\[c\equiv {\left(b\left(a^2-b^2\right)\right)}^{-1}a+\varepsilon \dfrac{{2010}^{18}}{2} \pmod{2010^{18}}\] \[d\equiv -{\left(b\left(a^2-b^2\right)\right)}^{-1}\left(a^2+b^2\right)+\varepsilon \dfrac{{2010}^{18}}{2} \pmod {2010^{28}}\]
$\varepsilon$, $0$ ya da $1$. Bu nedenle
\[Q\left(P\left(x\right)\right)-x\ \equiv \ \] \[-{\left(b\left(a^2-b^2\right)\right)}^{-1}a^2x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(ax+2b\right)+\varepsilon \dfrac{{2010}^{18}}{2}x\left(x-1\right)\pmod {2010^{18}}\]
Şimdi $x=2$ koyarsak ${2010}^{18}|2^2\cdot 3 \cdot a^2$ dolayısıyla $2^8\cdot {1005}^9|a$ elde ederiz.
Tersine gidersek, eğer $2^8\cdot {1005}^9|a$ ve $\left(2010,b\right)=1$ ise, $c$ ve $d$'yi yukarıdaki gibi tanımlarız.
Her $n$ için $2|n\left(n-1\right)$ ve $2|an+2b$ olduğundan $Q\left(P\left(n\right)\right)\equiv n \pmod {2010^{18}}$ olur.
