(Burak VARICI)
$PS\parallel AC$ ve $\angle CAP=\angle BCP$ olduğundan $\angle QPC=\angle ACB=\angle AQB=\angle PQB$ olduğunu biliyoruz. Bu nedenle $BQ\parallel PC$.
Önce $SQ=RB'$ ancak ve ancak $AB\parallel B'Q$ olduğunu göstereceğiz. $PS$ ve $AB'$ paralel olduğundan $\dfrac{PQ}{PA}=\dfrac{SQ}{SB'}$ olduğunuz biliyoruz. Eğer $SQ=RB'$ ise, $BQ\parallel PC$ olduğundan $\dfrac{PQ}{PA}=\dfrac{RB'}{RQ}=\dfrac{PB'}{PB}$ ve bu nedenle $AB\parallel B'Q$. Diğer yandan eğer $AB\parallel B'Q$ ise $BQ\parallel PC$' yi kullanırsak $\dfrac{RB'}{RQ}=\dfrac{PB'}{PB}=\dfrac{PQ}{PA}=\dfrac{SQ}{SB'}$ elde ederiz. $\dfrac{RB'}{RQ}=\dfrac{SQ}{SB'} \Rightarrow \dfrac {RB'}{B'Q} = \dfrac {SQ}{B'Q} \Rightarrow SQ=RB'$ buluruz.
Şimdi $AB\parallel B'Q$ ancak ve ancak $\angle BAT=\angle BB'Q$ olduğunu göstereceğiz. $AP\cap B'C'=\left\{U\right\}$ olsun ve $D$, $AP$ doğrusu ve $(C'PB')$ çemberinin ikinci kesim noktası olsun. $PC'\parallel QT$' yi kullanırsak $\dfrac{UD}{UB'}=\dfrac{UC'}{UP}=\dfrac{UT}{UQ}$, dolayısıyla $K.A.K$ dan $\triangle TDU \sim \triangle QB'U$, sonuç olarak $TDC'$ ve $QB'P$ üçgenlerinin benzer olduğunu elde ederiz.
$D$ 'nin $A$ ile çakışık olamayacağını gösterelim (Bunu gösteriyoruz; çünkü aksi durumda $SQ=RB'$ olmasından bağımsız olarak $\angle BAT = \angle BB'Q$. Bu da ancak ve ancak önermesini bozar.). Çakışık olduğunu varsayalım. $A,C',P{,B}'$ çemberseldir. $\angle PDB' = \angle PAB' = \angle B'C'P = \angle PCA'$, bundan dolayı da $C'B'$ ve $BC$ paraleldir. $A'$, $AP$ ve $BC$' nin kesişim noktası olsun. Bunu takiben $PBA'$ ve $BAA'$ üçgenleri benzerdir ve bu nedenle ${A'B}^2=A'P.A'A$. Benzer şekilde ${A'C}^2=A'P.A'A$ dolayısıyla $A'B=A'C$, bu ise $P$' nin $A$' dan geçen kenarortay üzerinde olmamasıyla çelişir.
$D$' nin $A$ ve $U$ ile arasında olduğunu varsayalım. Eğer $A$, $D$ ile $U$ arasında ise benzer kanıt yine geçerlidir. Eğer $\angle BAT=\angle BB'Q$ ise, $\angle C'AT=\angle BAT=\angle BB'Q=\angle PB'Q=\angle C'DT$ ve $T,A,D,C'$ çemberseldir. Bu nedenle $\ \angle PAB=\angle DAC'=\angle DTC'=\angle B'QP$ ($\triangle TDC' \cong \triangle QB'P$ olduğu için) ve dolayısıyla $AB\parallel B'Q$. Diğer yandan eğer $AB\parallel B'Q$ ise, $=\angle DTC'=\angle B'QP=\angle DAC'$ , ve $T,A,D,C'$ çemberseldir. Bu nedenle $\angle BAT{\rm =}\angle C'AT=\angle C'DT=\angle PB'Q=\angle BB'Q$.
\[SQ=RB'\ \Leftrightarrow \ AB\parallel B'Q\ \Leftrightarrow \ \angle BAT=\angle BB'Q\]
