Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 4

[geo]

Dar açılı $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve $A,B,C$ köşelerine ait yüksekliklerinin ayakları da, sırasıyla $ A_{1},B_{1},C_{1}$ dir. $K$, $[AB]$ çaplı çemberin küçük $AB_{1} $ yayı üstünde yer alan ve $m(\widehat{HKB})=m(\widehat{C_{1}KB})$ koşulunu sağlayan bir nokta ve $\lbrack KB\rbrack \cap \lbrack CC_{1}\rbrack =\lbrace L\rbrace $ olmak üzere; $C$ merkezli ve $\lbrack CL\rbrack $ yarıçaplı çember $\lbrack AA_{1}\rbrack $ i $M$ noktasında kesiyor. $ B$ merkezli ve $[BM]$ yarıçaplı çemberin $CC_{1}$ doğrusunu kestiği noktalar $P$ ve $Q$ ise, $A,K,P$ ve $Q$ noktalarının çemberdeş olduğunu kanıtlayınız.

(Hasan Hüseyin Eruslu)

[geo]

$A,C_1,H,B_1$ çembersel olduğundan $\angle LHB=A$ olur. $A,B,B_1,K$ çembersel olduğundan $\angle BKB_1=\angle BAB_1=A$ öyleyse $\angle LHB=\angle BKB_1$ dir. Yani $L,K,B_1,H$ çemberseldir. $\angle AC_1L=\angle AB_1B=\angle AKL=90^\circ$ olduğundan $A,C_1,L,K$ çemberseldir. Öyleyse; $\angle C_1AL=\angle C_1KL=\angle LKH=\angle LB_1H$ dır. $\angle ALC=90^\circ+\angle C_1AL$ ve $\angle LB_1C=90^\circ+\angle LB_1H$ dır.

Yani $\angle ALC=\angle LB_1C$ dir. Böylece $ALC$ ve $LB_1C$ üçgenleri benzerdir. Benzerlikten; ${CL}^2=CB_1\cdot CA$ elde edilir. $B,A,B_1,A_1$ çembersel olduğundan ${CB}_1\cdot CA=CA_1\cdot CB$ ve $CM=CL$ olduğundan ${CM}^2=CB\cdot CA_1$ elde edilir. Dolayısıyla Öklid'den $\angle BMC=90^\circ$ bulunur. $BP=BM$ ve $C,A,C_1,A_1$ çemberselliğinden ve Öklid'den ${BP}^2={MB}^2=BA_1\cdot BC=BA\cdot BC_1$ bulunur. Dolayısıyla Öklid'den $\angle BPA=90^\circ$ olur ve aynı şekilde $\angle BQA=90^\circ$ olur. Yani $A,K,P,Q$ noktaları çemberseldir.