Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 1

[geo]

$p^{3}-4p+9$ un tam kare olmasını sağlayan tüm $p$ asal sayılarını bulunuz.

(Okan Tekman)

[geo]

(Eren DURLANIK)

Cevap: $p=2,\ 7,\ 11$ değerleri için $p^3-4p+9=\ 3^2,\ {18}^2,\ {36}^2$ olarak bulunur.

$x^2=p^3-4p+9$  denklemini  $p$  asalı ve $x\in {{\mathbb N}}_0$ için çözeceğiz.

$p=2$  ise $x=3$  sağlıyor, yani $p=2$  çözümdür. $p\ne 2$  durumuna bakmak yeterlidir.

$x^2\equiv 9 \pmod p$  olduğundan; bir $k$ tam sayısı için $x=kp-3$  veya $x=kp+3$  olmalıdır.

$x=kp-3$  ise; ${(kp-3)}^2=p^3-4p+9\Rightarrow k^2p-6k=p^2-4\Rightarrow p|6k-4$  olmalıdır. $p\ne 2$ olduğundan, $p|3k-2$  olmalıdır. Yani $p\le 3k+2$ olmalıdır.

$x=kp+3$  ise; ${(kp+3)}^2=p^3-4p+9\Rightarrow k^2p+6k=p^2-4\Rightarrow p|6k+4$  olmalıdır. $p\ne 2$  ise $p|3k+2$  olmalıdır. Yani $p\le 3k+2$ olmalıdır.

İki durumda da  $p\le 3k+2$  olmalıdır. Öyleyse $\dfrac{p-2}{3}\le k\Longrightarrow \dfrac{p^2-2p-9}{3}\le kp-3\le x$ .

Şimdi $x$ üzerinden iki durum inceleyelim:

i)  $x\le \dfrac{p^2}{4}\Rightarrow \dfrac{p^2-2p-9}{3}\le \dfrac{p^2}{4}\Rightarrow p\le 8+\dfrac{36}{p}\Rightarrow p\le 11$ ;

ii) $x>\dfrac{p^2}{4}\Rightarrow x^2=p^3-4p+9$  olduğundan $\dfrac{p^4}{16}<p^3-4p+9\Rightarrow p<16-\dfrac{16(4p-9)}{p^3}\Rightarrow p\le 13$.

Demek ki $p\le 13$ olmalıdır, bu şartı sağlayan asallarda incelenirse yalnızca  $7$  ve $11$  in sağladığı görülür. Yani, tüm çözümler $p=2,\ 7,\ 11$  olarak bulunur.

[geo]

(Burak VARICI)

$p=2$ için $p^{3} -4p+9=9$ tamkaredir. $p=3$ için $p^{3} -4p+9=24$ ifadesi tamkare değildir. Dolayısıyla $p\ge 5$ varsayalım. $p^{3} -4p+9=a^{2} $ olsun. İfadeyi

$\bmod 6$ da incelersek $p^{3} -4p+9\equiv -3p+9\equiv 0$ sağlanır, dolayısıyla $a=6b{\rm \; }(b\in {\mathbb N})$ buluruz.

Böylece $(p-2)p(p+2)=9(2b-1)(2b+1)$ elde edilir. $p$ için iki durum mümkündür:

i) $p=9k+2$ ise, yerine yazarsak $9k(9k+2)(9k+4)=9(2b-1)(2b+1)$

a) $2b=pm+1$ ise  $k(9k+4)=m(9km+2m+2)$ olur.

$\pmod{ p=9k+2}$ de incelersek   $2k\equiv 2m \pmod p$ buluruz.

$p>k\ge m$ olduğundan $k=m$ dir.

$9k+4=9k^{2} +2k+2{\rm \; \; }\to {\rm \; }9k^{2} -7k-2=(9k+2)(k-1)=0$  Dolayısıyla ilk durumdan $k=1$  ve  $\underline{p=11}$ elde edilir. Yerine koyarsak,  gerçekten de $11^{3} -4.11+9=1296=36^{2} $ sağlanır.

b) $2b=pm-1$ ise $k(9k+4)=m(9km+2m-2)$

$\pmod {p=9k+2}$de incelersek  $2k\equiv -2m\pmod p\Rightarrow {\rm \; }9k+2\le k+m{\rm \; \; \; }m\ge 8k+2.$ Çelişki!(Neden Çelişki?) Bu durumda çözüm yoktur.

ii) $p=9k-2$ ise $9k(9k-2)(9k-4)=9(2b-1)(2b+1)$ Yine iki durum vardır:

a) $2b=pm+1$ ise  $k(9k-4)=m(9km-2m+2)$ sağlanır/bulunur.

$\pmod{p=9k-2}$ de incelersek  $-2k\equiv 2m\pmod p\Rightarrow {\rm \; }9k-2\le k+m{\rm \; \; \; }m\ge 8k-2.$ Bu durumda eşitlik sağlanmaz, çelişki! Bu durumda çözüm yoktur.

b) $2b=pm-1$ ise $k(9k-4)=m(9km-2m-2)$ olur. İfadeyi

$\pmod{p=9k-2}$ de incelersek $-2k\equiv -2m\pmod p\Rightarrow m=k$. ($m=k$ geçişini nasıl yaptın? $m<p$?)

$9k-4=9k^{2} -2k-2{\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; (}9k-2)(k-1)=0$

Dolayısıyla $k=1$ ve $\underline{p=7}$, bulunur.

Sonuç olarak, $p^{3} -4p+9{\rm \; }$ ifadesini tamkare yapan $p$ asalları $2$, $7$ ve $11$'dir. $\triangleright $

[efecan]

Her iki çözüm de tashih edilmiştir.

Düzeltme:

2. Çözümde:
m<=k olması i)-b) nin başındaki verilen eşitlikte açıktır. Dolayısıyla m>=8k+2 çelişki verir.
Kırmızı ile belirtilen yerde de m>k olduğu takdirde ii)-b) de verilen eşitlikte sol taraf sağ taraftan büyük olur. Dolayısıyla k>=m olmalıdır ve p modundaki denklik de bu durumda m=k yı verir.