Tübitak Lise 2. Aşama 2007 Soru 5

[geo]

$m(\widehat{B})=90^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, $ BC$ kenarına $D$ noktasında değiyor. $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin iç merkezleri sırasıyla $X$ ve $Z$ olmak üzere, $XZ$ ve $AD$ doğruları $K$ noktasında kesişiyor. $XZ$ nin $ABC$ nin çevrel çemberini kestiği noktalar $U$ ve $V$; $UV$ doğru parçasının orta noktası $M;$ $AD$ nin $ABC$ nin çevrel çemberini $A$ dışında kestiği nokta $Y$ olmak üzere, $\vert CY\vert =2\vert MK\vert $ olduğunu gösteriniz.

(Cafer Tayyar Yıldırım)

[geo]

$X$ merkezli içteğet çember $BC$ ye $E$ de dokunsun. $Z$ merkezli içteğet çember $BC$ ye $F$ de dokunsun.

$DE$ ve $DF$ uzunluklarını hesaplayacağız.

$AD=x$, $AC=b$, $BC=a$, $AB=c$ ve $u=\dfrac{a+b+c}{2}$  olsun.

$BD=u-b$ ve $CD=u-c$

$\triangle ABD$ üçgeninde $DE=\dfrac{c+u-b+x}{2}-c=\dfrac{x+u-b-c}{2}$ elde edilir.

$\triangle ADC$ üçgeninde $DF=\dfrac{b+u-c+x}{2}-b=\dfrac{x+u-b-c}{2}=DE$ olur.

$X$ merkezli çemberin $AD$ ye dokunduğu nokta ile $Z$ merkezli çemberin $AD$ ye dokunduğu nokta aynı olacağından, bu nokta, $X$ ve $Z$ doğrusal olacaktır. Bu durumda çemberler $AD$ ye $K$ da dokunurlar. Yani, $AD\bot XZ$.

$M$, $UV$ kirişinin orta noktası olduğu için $OM\bot XZ$. Bu durumda $AD\parallel OM$ olacaktır. Dolayısıyla $\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{CM}{MN}$  elde edilir. $AD\bot XZ$ ile $AY\bot YC$ olduğu için $KM\parallel YC$ olur. Bu durumda, paralellikten, $\dfrac{NM}{NC}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{MK}{YC}$ elde edilir.