(Mathematist)
$(i,j)$ nin üzerinde yazılı olan sayının 2 modundaki değeri $f_{(i,j)} $ olsun.
Genelliği bozmadan, başlangıç hamlesi öncesinde bütün boyalı $(i,j)$ birim kareleri üzerinde $1$ yazılı olduğunu varsayabiliriz. Böylece başlangıç hamlesinde yaptığımız da, sonraki hamlelerde olduğu gibi, boyalı her $(i,j)$ birim karesine, $S_{i,j} $ deki karelere bir önceki adım sonunda yazılmış olan sayıların toplamını yazmak olur. Dolayısıyla adımlara başlamadan önce her $(i,j)$ boyalı birim karesi için $f_{(i,j)} =1$ olur.
$n$ ile tahtadaki toplam boyalı birim kare sayısı gösterilmek üzere, $n$ üzerine tümevarım yaparak, her $n$ pozitif tamsayısı için tahtadaki tüm sayıların tek sayı olmasının sağlanabileceğini ispatlayalım.
Eğer $n=1$ ise, boyalı olan sadece bir $(i,j)$ birim karesi vardır ve ilk adımdan sonra $f_{(i,j)} =1$ olur. Diyelim ki önerme $n=k$ için doğru olsun. $n=k+1$ durumuna bakalım:
Eğer $i\le r$ ve $j\le l$ ise $(i,j)\le (r,l)$ şeklinde tanımlanmak üzere boyalı birim kareler arasında bir büyüklük-küçülük sıralaması kuralım. Her sonlu kümenin en büyük bir elemanı olduğundan, bu sıralamaya göre en büyük olan en az bir eleman vardır (Birbiri arasında büyüklük-küçüklük sıralaması kurulamayan bazı en büyük elemanlar bulunabilir.). Bu elemanlardan biri $(p,q)$ olsun.
Herhangi bir adımda $(p,q)$ birim karesinin diğer boyalı birim kareler üzerinde bir etkisi yoktur. Eğer $(p,q)$ birim karesini silersek, tümevarım prensibine göre, uygun bir $N$ pozitif tamsayısı için $N$ adımdan sonra kalan bütün birim karelerin üzerinde tek sayı yazıyor olacaktır. Dolayısıyla, eğer $(p,q)$ yu silmezsek, $N$ adım sonra $f_{(p,q)} $ dışındaki bütün birim kareler için $f_{(i,j)} =1$ sağlanır.
Eğer $f_{(p,q)} =1$ de sağlanıyorsa tümevarım biter. Diyelim ki $f_{(p,q)} =0$. Demek ki ilk $N$ adım $f_{(p,q)} $ ya $1$ eklemiş ve $1$ den $0$ a değiştirmiş. Böylece $(p,q)$ karesi dışında tüm kareler için başlangıç durumuna dönmüş olduk. Bu yaptığımız işlemler, diğer $k$ kare için 2 modunda periyodik olduğundan, toplam $2N$ sonunda yapılan son $N$ adım da $f_{(p,q)} $ ya $1$ ekler ve bütün boyalı birim kareler için $f_{(i,j)} =1$ olur, ispat biter.
