Şekilde görülen boyanmış parçayı kaydırarak boyama işlemini sürdürürsek $n=7k+6$, $k\ge 0$, için $$l\left(n\right)\le \dfrac{2}{7}{\left(n+1\right)}^2$$
olduğunu görürüz. Eğer $n=7k+s$, $0\le s\ <6$ ise, $n=7\left(k-1\right)+6+\left(s+1\right)$ ve $m=7\left(k-1\right)+6\ $yazalım. Bu takdirde, $n\times n$ karenin içinde $m\times m$ karenin dışında kalan tüm noktaların boyandığı varsayılsa dahi
$$l\left(n\right)\le l\left(m\right)+\left(s+1\right)n+\left(s+1\right)m<l\left(m\right)+12n, $$ $$l\left(n\right)<\dfrac{2}{7}{\left(m+1\right)}^2+\ 12n<\dfrac{2}{7}{\left(n+1\right)}^2+12n$$ olduğu görülür. Dolayısıyla her $n\ge \ 6$ için, $$\dfrac{l\left(n\right)}{n^2}\le \dfrac{2}{7}\dfrac{{\left(n+1\right)}^2}{n^2}+\dfrac{12}{n} \tag{*}$$ dir.
Şimdi, bir kare alalım. (Bak: Şekil 1). Bir $1\times 1$ karenin kenarları üzerindeki boyanmış nokta sayısı $t$ olsun. Problemin koşulu gereği $t\ge 1$ dir. Her $1\times 1$ kare için $\dfrac{1}{t}$ sayısına o karenin
ağırlığı diyelim. Boyanmış bir nokta alalım. Bu nokta ile kesişen tüm $1\times 1$ karelerin ağırlıklar toplamına o noktanın
puanı diyelim. Bu takdirde, boyanmış her bir noktanın puanı, nokta tam köşede ise (Bak: Şekil 2), $\le 1$; nokta bir kenar üzerinde ise (Bak: Şekil 3), $\le 2$ ve eğer nokta karenin içinde ise (Bak: Şekil 4), o noktanın puanı $\le \dfrac{7}{2}$ dir. (Son durumda, eğer dört kareden üçünün ağırlığı $1$ ise, $2\times 2$ karenin kenarında en az bir boyanmış nokta bulunacağından, dördüncü karenin puanı $\le 3\cdot 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$ eşitsizliğini sağlamalıdır. )
Diğer yandan, her biri $1\times 1$ karenin boyanmış noktaların puanına yaptığı katkıların toplamı $1$ dir. Çünkü, bir $1\times 1$ kare üzerinde $t$ adet boyanmış nokta varsa, karenin puanlara yapmış olduğu katkı $$\dfrac{1}{t}+\dots +\dfrac{1}{t}=t\cdot \dfrac{1}{t}=1$$ olur. Demek ki, boyanmış noktaların puan toplamı $n^2$dir.
Şimdi $l(n)$ tane boyanmış nokta ve her boyanmış noktanın puanı $\le \dfrac{7}{2}$ olduğuna göre, $$n^2<\dfrac{7}{2}l\left(n\right)\Rightarrow \dfrac{l\left(n\right)}{n^2}\ge \dfrac{2}{7} \tag{**}$$ olduğunu görürüz. $(*)$ ile $(**)$ birleştirilirse, $$\dfrac{2}{7}\le \dfrac{l\left(n\right)}{n^2}\le \dfrac{2}{7}\ \dfrac{{\left(n+1\right)}^2}{n^2}+\dfrac{12}{n}$$ elde edilir ve Sandviç teoremi ile $${\mathop{\lim }_{n\to \infty } \dfrac{l\left(n\right)}{n^2}=\dfrac{2}{7}\ }$$ olduğu görülür.
Kaynak:Matematik Dünyası 1999-III
