Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$x^{3}+3367=2^{n}$ eşitliğini sağlayan tüm $x$ ve $n$ pozitif tamsayılarını bulunuz.

[geo]

$3367$ nin asal çarpanlara ayrılışı $3367=7\cdot 13\cdot 37$ dir. Eğer $x^3\equiv 2^n\ \ (mod\ 7)$ ise, uygun bir $m\in N$ için $n=3m$ olur. Böylece, $3367=2^n-x^3=\underbrace{\left(2^m-x\right)}_{a}\underbrace{\left(2^{2m}+2^mx+x^2\right)}_{b}$, $a^2<b$ ve $ab=7\cdot \ 13\cdot 37$ olduğu için aşağıdakilerden biri doğrudur:

• $a=1$, $b=7\cdot 13\cdot 37$, 
• $a=7$, $b=13\cdot 37$,
• $a=13$, $b=7\cdot 37$,

$b-a^2=3\cdot 2^m\cdot x$ , $2^m\ge \sqrt[3]{3367}>14$ olduğu için

$(i)$ $b-a^2=3\cdot 2\cdot 561$ ve
$(iii)$  $b-a^2=90=2\cdot 3\cdot 15$ geçerli olamaz; ancak $(ii)$ durumu sözkonusu olabilir. Bu durumda $b-a^2=481-49=432=3\cdot 2^4\cdot 3^2$ olduğunda $n=12$, $x=9$ olmalı. Gerçekten $9^3+3367=2^{12}\ $'dir.

Kaynak:
Matematik Dünyası 1999-III