Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Tüm $0\le a\le b\le c$ gerçel sayıları için $$(a+3b)(b+4c)(c+2a)\ge 60abc$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\left(a+3b\right)\left(b+4c\right)\left(c+2a\right)-\left(a+3b\right)\left(b+2a\right)\left(c+4c\right)$

$=\left(a+3b\right)\left(\left(b+4c\right)\left(c+2a\right)-\left(b+2a\right)\left(c+4c\right)\right)$

$=\left(a+3b\right)\underbrace{\left(b-c\right)}_{\le 0}\underbrace{\left(2a-4c\right)}_{\le 0}\ge 0 $ ve

$\left(a+3b\right)\left(b+2a\right)-\left(a+2a\right)\left(b+3b\right)$

$=\underbrace{\left(a-b\right)}_{\le 0}\underbrace{\left(2a-3b\right)}_{\le 0}\ge 0$ olduğu görülür. Dolayısıyla,

$\left(a+3b\right)\left(b+4c\right)\left(c+2a\right)>\left(a+3b\right)\left(b+2a\right)\left(5c\right)\ge \left(3a\right)\left(4b\right)\left(5c\right)=60abc$ 'dir.

Kaynak:
Matematik Dünyası 1999-III

[geo]

Aritmetik-geometrik ortalamalar eşitsizliğinden,
$$a+b+b+b\ge 4\sqrt[4]{ab^3}, $$ $$b+c+c+c+c\ge 5\sqrt[5]{bc^4}, $$ $$c+a+a\ge 3\sqrt[3]{ca^2}$$ 'dir. Taraf tarafa çarparsak,
$$\left(a+3b\right)\left(b+4c\right)\left(c+2a\right)\ge 60a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{3}{4}}b^{\frac{1}{5}}c^{\frac{4}{5}}c^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}}=60a^{\frac{11}{12}}b^{\frac{19}{20}}c^{\frac{17}{15}}=60abc\frac{c^{\frac{2}{15}}}{a^{\frac{1}{12}}b^{\frac{1}{20}}}$$ $$=60abc\dfrac{c^{\frac{1}{12}}}{a^{\frac{1}{12}}}\frac{c^{\frac{1}{20}}}{b^{\frac{1}{20}}}\ge 60abc\left(1\right)\left(1\right)=60abc. $$

[geo]

$b$ nin bir kısmını $a$ olarak, $c$ nin bir kısmını da $b$ olarak yazarsak eşitsizlikten daha küçük bir değer elde etmiş oluruz.
$$\left(a+3b\right)\left(b+4c\right)\left(c+2a\right)\ge \left(a+\dfrac{1}{3}a+\dfrac{8}{3}b\right)\left(b+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{10}{3}c\right)\left(c+2a\right)$$ $$=\dfrac{4}{3}\left(a+2b\right)\cdot \dfrac{5}{3}\left(b+2c\right)(c+2a)$$ elde edilir.

$a+b+b\ge 3\sqrt[3]{ab^2}$, $b+c+c\ge 3\sqrt[3]{bc^2}$ ve c$+a+a\ge 3\sqrt[3]{ca^2}$ olduğu için
$$\left(a+3b\right)\left(b+4c\right)\left(c+2a\right)\ge \left(a+\dfrac{1}{3}a+\dfrac{8}{3}b\right)\left(b+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{10}{3}c\right)\left(c+2a\right)$$ $$=\dfrac{4}{3}\left(a+2b\right)\cdot \dfrac{5}{3}\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)\ge \dfrac{20}{9}\cdot 27abc=60abc$$ elde edilir.

[geo]

$b = a + k$ ve $c = b + m = a + k + m$ olsun.
Tanım gereği $k \geq 0$ ve $m \geq 0$ olacaktır.

$ (4a+3k)(5a+5k+4m)(3a+k+m)\geq 60a(a+k)(a+k+m)$ olduğunu göstermemiz gerekiyor.

$(4a+3k)(5a+5k+4m)(3a+k+m)\geq 60a^3 + 120a^2k+60a^2m+60akm$

Bu aşamadan sonra sağ taraftaki her terime karşılık sol taraftaki benzer terimin katsayısını karşılaştırdığımızda, sol taraftakilerin daha büyük veya sağ taraftakilere eşit olduğunu göreceğiz. Sol taraftaki bütün terimler sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu için eşitsizlik doğru olacaktır.

Yinede tüm terimleri açarak bunun doğruluğunu gösterelim.
$60 a^3 + 125 a^2 k + 68 a^2 m + 80 a k^2 + 87 a k m + 16 a m^2 + 15 k^3 + 27 k^2 m + 12 k m^2$
$\geq 60a^3 + 120a^2k+60a^2m+60akm$

$\Rightarrow 5 a^2 k + 8 a^2 m + 20 a k^2 + 27 a k m + 16 a m^2 + 15 k^3 + 27 k^2 m + 12 k m^2 \geq 0$.