Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 1

[Lokman Gökçe]

İkizkenar $ABC$ üçgeninin ($\vert AB\vert =|AC|$) $[BC]$ tabanı üzerinde $\vert BD\vert :\vert DC\vert =2:1$ olacak biçimde bir $D$ noktası, $[AD]$ üzerinde ise $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BPD})$ olacak biçimde bir $P$ noktası alınıyor. $m(\widehat{DPC})=m(\widehat{BAC})/2$ olduğunu gösteriniz.

[alpercay]

$C$ noktasının $AD$ doğrusuna göre simetriği $C_1$, $B$ noktasından $AD$ doğrusuna indirilen dikmenin ayağı $Q$; $A$ noktasınndan $\left[BC\right]$ ye çizilen yüksekliğin ayağı $Q$ olsun. (Şekilden izleyiniz.)

$CC_1\parallel BQ$, $\left|BD\right|:\left|DC\right|=\left|BQ\right|:\left|CR\right|=2:1$ olduğu için $BQCC_1$ bir paralelkenardır ve $\left|BC_1\right|=\left|QC\right|=|C_1Q|$'dur.

Şimdi, $\angle BAC=2\alpha $ olsun. Bu takdirde, $\angle BPD=2\alpha $, $\angle BAO=\alpha $ olur ve $B,O,Q,A$ noktaları çembersel olduğu için $\angle BQO=\angle QBC_1=\angle QCC_1=\alpha $ olur. Diğer yandan,

$\angle BC_1Q=180-2\alpha $ ve $\angle BPQ=2\alpha $ olduğundan, $B,P,Q,C_1$ noktalarının çembersel olduğu ve böylece, $\angle QPC_1=QBC_1=\alpha $ olduğu görülür. Sonuç olarak,
$$\angle CPD=\angle C_1PD=\angle QPC_1=\alpha =\dfrac{1}{2}\angle BAC$$

Kaynak:
Matematik Dünyası 1999-III

[alpercay]

...

[sgmx]

$m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BPD})\Longrightarrow m(\widehat{PBA})=m(\widehat{PAC})$ olur. $[AD$ üzerinde $\triangle ABP\cong\triangle CAK$ olacak şekilde $K$ noktası alalım. Tekrar $[AD$ üzerinde $\left|BP\right|=\left|BL\right|$ olacak şekilde $L$ noktası alalım. $CK\Vert LB$ olduğundan $\left|AP\right|=\left|CK\right|=b$ dersek $\left|BL\right|=\left|BP\right|=2b$ olur. $\triangle ABP\cong\triangle CAK$ olduğundan $\left|BP\right|=\left|AK\right|=2b$ olur ve $\left|PK\right|=b$ bulunur. $PKC$ ikizkenar üçgeninden $m(\widehat{DPC})=m(\widehat{DKC})/2=m(\widehat{BAC})/2$ olduğu görülür.

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile $AD$ nin kesişimi $E$ olsun. $\vert AB\vert =|AC|$ olduğundan $m(\widehat{BEA})=m(\widehat{CEA})=m(\widehat{ABC})=m(\widehat{ACB})$ dir. Dolayısıyla $BEC$ üçgeninde $ED$ iç açıortay olur. Açıortay teoreminden dolayı $\dfrac{\vert EB\vert }{\vert EC\vert}= \dfrac{\vert BD\vert }{\vert DC\vert} =2$ olur. Açı eşitliklerinden $m(\widehat{PBE})=m(\widehat{PEB})$ olduğunu görmek kolaydır. $PBE$ ikizkenar üçgeninde $[BE]$ nin orta noktası $H$ olsun. ${\vert BH\vert }={\vert HE\vert }={\vert EC\vert }$ ve $PH \bot BE$ dir. $PHE \cong PCE$ (K-A-K eşliği) olduğundan $m(\widehat{PCE})=90^o $ olur. $PHEC$ deltoidinde $m(\widehat{HPE})=m(\widehat{CPE})$ olur. Bu ise, $m(\widehat{DPC})=m(\widehat{BAC})/2$  eşitliğine denktir.

[geo]

Basit açı hesabıyla, $\angle ABP = \angle BPD - \angle BAP = \angle BAC - \angle BAP = \angle PAC = \alpha$.
Alan kenar oranlarından $[ABP]:[ACP]=BD:DC=2:1$ elde edilir.
$BP$ nin orta noktası $M$ olsun. $[ABM]=[APC]$ olacaktır.
Sinüs Alan formülünden $\frac 12 \cdot AB \cdot BM \cdot \sin \alpha =\frac 12 \cdot AC \cdot AP \cdot \sin \alpha$ ve $AP=BM=MP$ olur.
$AB=CA$, $BM=AP$ ve $\angle ABM = \angle CAP$ olduğu için $\triangle ABM \cong \triangle CAP$.
$\angle BAM = \angle ACP = \beta$ dersek $\angle AMP = \angle CPD =\alpha +\beta$ olur.
$AP=MP$ olduğu için $\angle MAP =\alpha +\beta$ ve $\angle BAC = 2\alpha + 2\beta = 2\cdot \angle CPD$.