$F$ merkezli $DE$ çaplı çember $BC$ ye ait $A$ dan geçen Apolonyus çemberidir. Gerçi Apolonyus çemberine has bir özellik kullanmayacağız.
İlk önce çevrel çember ile Apolonyus çemberinin dik kesiştiğini gösterelim.
$AF=DF\Rightarrow \angle ADF=\angle DAF\Rightarrow \angle ABC+\angle BAD=\angle DAC+\angle CAF$ olur. $\angle BAD=\angle DAC$ olduğu için $\angle CAF=\angle ABC$ olacağından $AF$, $\left(ABC\right)$ çemberine teğettir (teğet kiriş açı ile çevre açının eşitliği). Yani $\angle OAF={90}^{\circ }$ cepte.
Ortak teğet doğrusu çevrel çembere $S$ de, diğer çembere de $T$ de değsin. $AM$, bu iki çemberin ortak kirişi olsun. $AM$ bu iki çemberin kuvvet eksenidir. ($AM$ nin $ST$ ile kesiştiği noktanın çemberlere göre kuvveti eşit olacağından $AM$ $ST$ yi ortalar.) $OF$ doğrusuna diktir ($APMF$ deltoid olduğu için köşegenler diktir ve birbirini ortalar). Ortak teğet doğru parçası $ST$ yi iki eşit parçaya böler. Bu durumda $SPQT$ dik yamuğunda $AM$ orta taban doğrusu olacağından $PA=AQ$ ve $AM$ ile $PQ$, $N$ de kesişiyorsa $PN=NQ$ eşitlikleri elimizde var. $APMF$ deltoidinde $AN=AM$ olduğunda göre $AN=PN=NQ$ yani $\angle PAQ={90}^{\circ }$ olduğunu göstereceğiz. İki çemberin dik kesiştiğini daha önce göstermiştik.
$\angle PAQ=\angle OAF\Leftrightarrow \angle FAQ=\angle OAP$ olduğunu göstereceğiz. $OS\parallel TF$ ve $SP\parallel TQ$ olduğu için $\angle PSO=\angle QTF$. Dolayısıyla da $\triangle OSP\sim \triangle FTQ$ olacaktır. $\dfrac{OP}{QF}=\dfrac{OS}{FT}=\dfrac{OA}{FA}$ orantısı elde edilir. $O$ nun $AN$ ye göre simetriği $O'$ olsun. $AP=AQ$ olduğu için $\triangle QAO'\cong \triangle PAO$ olacaktır. Bu durumda $AO'=AO$, $O'Q=OP$ ve $\dfrac{OP}{QF}=\dfrac{OS}{FT}=\dfrac{OA}{FA}$olduğu için $\dfrac{O'Q}{QF}=\dfrac{O'A}{FA}$ orantısını elde ederiz. Bu da $O'AF$ üçgeninde $AQ$ nun açıortay olduğu gösterir.
$\angle O'AQ=\angle QAF=\angle OAP\Rightarrow \angle OAF=\angle QAP\Rightarrow AN=PN=NQ\Rightarrow PQ=AM=m$ elde edilir.
