Tübitak Lise 2. Aşama 1997 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Tüm $a,b,c,d$ ve pozitif $e$ gerçel sayıları için $$(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\le e^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+f(e)(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})$$ eşitsizliğini doğru kılan en küçük $f(e)$ değerini $e$ cinsinden bulunuz.

[geo]

$a=b=c=d=2e^2$ olduğunda $32e^6 \leq 16e^6 + f(e)\cdot 64e^8 \Rightarrow \dfrac{16e^6}{64e^8} \leq f(e)$. Bu durumda $f(e) \geq \dfrac 1{4e^2}$.

$f(e) = \dfrac 1{4e^2}$ olduğunda $AO \geq GO$ dan $\dfrac {a^4}{4e^2} + a^2e^2 \geq 2\sqrt {\dfrac {a^4}{4e^2} \cdot a^2e^2} = a^3$ elde edilir. Diğerleri için de aynı eşitsizliği uygulayıp taraf tarafa topladığımızda $$(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\le e^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+\dfrac{1}{4e^2}(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})$$ elde ederiz. O halde en küçük $f(e)$ değeri $\dfrac{1}{4e^2}$ dir.