Tübitak Lise 2. Aşama 1997 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Bir dışbükey $ABCDE$ beşgeninin iç bölgesindeki herhangi bir $F$ noktasının $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ ve $EA$ doğrularına uzaklığı sırasıyla $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$ ve $a_{5}$ ile gösteriliyor. Bu beşgenin $A$, $B$, $C$, $D$ ve $E$ açılarının içaçıortayları üzerinde, $|AF_{1}|=|AF|$, $|BF_{2}|=|BF|$, $|CF_{3}|=|CF|$, $|DF_{4}|=|DF|$ ve $|EF_{5}|=|EF|$ eşitlikleri sağlanacak $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$, $F_{4}$ ve $F_{5}$ noktaları alınıyor. $F_{1}$ in $EA$, $F_{2}$ nin $AB$, $F_{3}$ ün $BC$, $F_{4}$ ün $CD$ ve $F_{5}$ in $DE$ doğrusuna uzaklığı sırasıyla $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $b_{4}$ ve $b_{5}$ ise $$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\le b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$$ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

$\angle EAB = 2\alpha$ ve $\angle FAE = \beta$ olsun.
$a_5 = AF \cdot \sin \beta$, $a_1 = AF \cdot \sin (2\alpha - \beta)$ ve $b_1 = AF \cdot \sin \alpha$ olacaktır.
$a_1 + a_5 = AF \cdot (\sin \beta + \sin (2\alpha - \beta)) = AF \cdot (2\cdot \sin \alpha \cdot \cos (\alpha - \beta)) = 2b_1\cos (\alpha - \beta) \leq 2b_1$.
Benzer şekilde $1\leq i \leq 4$ için de $a_i + a_{i+1} \leq 2b_{i+1}$ olacağı için taraf tarafa topladığımızda $$2(a_1 + a_2+a_3+a_4+a_5) \leq 2(b_1 + b_2 + b_3+ b_4+b_5)$$ elde ederiz. $\blacksquare$