Tübitak Lise 2. Aşama 1997 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$5x^{2}-6xy+7y^{2}=383$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tam sayı çiftlerini bulunuz.

[geo]

$5$ ile genişletirsek $$ \begin{array}{rcl}
25x^2 - 30xy + 35y^2 &=& 1915 \\
25x^2 - 30xy + 9 y^2 + 26y^2 &=& 1915 - 26y^2 \\
(5x-3y)^2 &=& 1915 - 26y^2
\end{array}$$ Eşitliği $\bmod 3$ te incelersek $y \equiv 0 \pmod 3$ elde ederiz.
Ayrıca $(5x-3y)^2 = 1915 - 26y^2 \geq 0$ olacağı için $8 \geq |y| \geq 0$ dır. O halde deneyeceğimiz sayılar $y \in \{ -6, -3, 0, 3, 6 \}$ dan ibaret. $\bmod 4$ te incelediğimizde geriye sadece $|y|=3$ ihtimali kalıyor.
$y=3$ için, $(5x-9)^2 = 1915 - 26\cdot 9 = 1681 \Rightarrow |5x-9|=41$ mutlak denkleminden çıkan sonuçlardan sadece biri tam sayı. O halde $x=10$.
$y=-3$ için, $(5x+9)^2 = 1915 - 26\cdot 9 = 1681 \Rightarrow |5x+9|=41$ mutlak denkleminden çıkan sonuçlardan sadece biri tam sayı. O halde $x=-10$.
Sonuç olarak denklemin çözüm kümesi $\{(-10,-3), (10,3)\}$.