Tübitak Lise 2. Aşama 1996 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Bir $ABCD$ dörtgeninin $[AD]$, $[DC]$ ve $[CB]$ kenarlarına teğet olan çemberin değme noktaları sırasıyla $K$, $L$, $M$ ile gösteriliyor. $L$ noktasından geçen ve $AD$ doğrusuna paralel olan doğrunun; $[KM]$ nı kestiği nokta $N$ ve $[LN]$ ile $[KC]$ nın kesiştiği nokta $P$ ise, $$|PL| =|PN|$$ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

$KM$ üzerinde $CQ\parallel LN\parallel DK$ olacak şekilde $Q$ noktası alalım. $\angle DKM=\angle CMK$ olduğu aşikar (Değilse doğruları uzatın, ikizkenar üçgeni görün.).

$CQ\parallel DK$ olduğu için $\angle DKM=\angle CQM=\angle CMQ$ olacağından $CM=CQ$ olur.

$DK=DL=a$ ve $LC=CM=CQ=b$ olsun. $CDK$ ve $CKQ$ üçgenlerinde paralelliğin gerektirdiği benzerlikleri yazarsak $\dfrac{PL}{DK}=\dfrac{LC}{DL}\Rightarrow \dfrac{PL}{a}=\dfrac{b}{a+b}\Rightarrow PL=\dfrac{ab}{a+b}$ ve 

$\dfrac{PN}{CQ}=\dfrac{KN}{KQ}=\dfrac{DL}{DC}\Rightarrow \dfrac{PN}{b}=\dfrac{a}{a+b}\Rightarrow PN=\dfrac{ab}{a+b}$ olur.