Tübitak Lise 2. Aşama 1996 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$(A_{n})_{n=1}^{\infty }$ ve $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ birer pozitif tam sayı dizisi olsun. Eğer her $x$ pozitif tam sayısı için $$ x=\sum\limits_{n=1}^{N}{x_{n}A_{n}},\quad 0 \leq x_n \leq a_n\quad (n=1,2,\dots,N) \text{ ve } x_N \neq 0$$ olacak şekilde tek bir $N$ pozitif tam sayısı ve tek bir $(x_{1},x_{2},\ldots, x_{N})$ tam sayı sıralı $N$ lisi varsa, $(A_{n})_{n=1}^{\infty }$ dizisinin aşağıdaki koşulları sağladığını gösteriniz:

• Bir $n_0$ için, $A_{n_{0}}=1$ dir.
• $k\neq j$ ise, $A_{k}\neq A_{j}$ dir.
• $A_{k} \leq A_{j}$ ise, $A_{k}$, $A_{j}$ yi böler.