Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 6  (Okunma sayısı 3712 defa)

Çevrimiçi Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 6
« : Ağustos 06, 2013, 03:26:56 öö »
Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $[BC]$ ve $[CA]$ kenarlarına sıra ile $D$ ve $E$ noktalarında değmektedir. $[CB]$ üzerinde $\vert CK\vert =|BD|$, $[CA]$ üzerinde $\vert AE\vert =|CL|$ koşulunu sağlayan $K$ ve $L$ noktaları için $AK\cap BL=\{P\}$ dir. İç teğet çemberin merkezi $I$, $[BC]$ nin orta noktası $Q$ ve $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ olduğuna göre
  • $IQ \parallel AK$,
  • $Alan(AIG)=Alan(QPG)$
olduğunu ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 11:51:13 öö Gönderen: bosbeles »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: 6 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 15, 2013, 07:49:19 öö »
$AN$ üçgenin iç açırotayı olsun. $BK=CD=u-c$, $AE=CL=u-a$,


$KQ=\left|\dfrac{a}{2}-\left(u-c\right)\right|=\dfrac{\left|c-b\right|}{2}$, $CN=\dfrac{ab}{b+c}$, $QN=\left|\dfrac{a}{2}-\dfrac{ab}{b+c}\right|=\dfrac{\left|ac-ab\right|}{2\left(b+c\right)}=\dfrac{a\left|c-b\right|}{2\left(b+c\right)}$ olacaktır.


Açıortay teoreminden $\dfrac{AI}{IN}=\dfrac{AC}{CN}=\dfrac{b}{\dfrac{ab}{b+c}}=\dfrac{b+c}{a}$ ve $\dfrac{KQ}{QN}=\dfrac{\dfrac{\left|c-b\right|}{2}}{\dfrac{a\left|c-b\right|}{2\left(b+c\right)}}=\dfrac{b+c}{a}$ olduğu için $IQ\parallel AK$ dır.

$AKC$ üçgeninde $P,L,B$ noktaları için Menelaus uygularsak $\dfrac{AP}{PK}\cdot \dfrac{KB}{BC}\cdot \dfrac{CL}{LA}=1$ olacağından $\dfrac{AP}{PK}\cdot \dfrac{u-c}{a}\cdot \dfrac{\left(u-a\right)}{b-\left(u-a\right)}=1\Rightarrow \dfrac{AP}{PK}=\dfrac{a}{u-c}\cdot \dfrac{u-c}{u-a}=\dfrac{a}{u-a}\Rightarrow \dfrac{AP}{AK}=\dfrac{a}{u}$ elde edilir. $IQ\parallel AK$ olduğu için $\dfrac{IQ}{AK}=\dfrac{QN}{KN}=\dfrac{a}{a+b+c}=\dfrac{a}{2u}$ olur. Bu durumda $AP=2\cdot IQ$ elde edilir.

 $3\cdot \left[PGQ\right]=\left[APQ\right]=2\cdot \left[AQI\right]=2\cdot \left(\dfrac{3\cdot \left[AIG\right]}{2}\right)\Rightarrow \left[PQG\right]=[AGI]$ elde edilir.

Not:
İç teğet çemberin değme noktalarını köşelerle birleştiren doğrular üçgenin Gergonne noktasında kesişir. Dış teğet çemberlerin kenarlara değme noktalarını köşelerle birleştiren doğrular üçgenin Nagel noktasında kesişir. İç teğet çemberin bir kenara değdiği noktanın o kenarın orta noktasına göre simetriği dış teğet çemberin o kenara değdiği noktadır. Yani sorudaki $P$ noktası, üçgenin Nagel noktasıdır. Nagel noktası, ağırlık merkezi ve iç merkez doğrusaldır. Bu doğruya Nagel doğrusu denir. $IG=\dfrac{1}{2}GP$ bağıntısı vardır. Bu bilgiler eşliğinde $\dfrac{GQ}{AG}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{IG}{GP}\Rightarrow IQ\parallel AP$ ve yamuktaki alan özelliğinden $\left[PQG\right]=[AIG]$ olacaktır.
« Son Düzenleme: Ağustos 29, 2013, 12:23:18 öö Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal