Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$s\ge 1$ ve $t\ge 1$ olmak üzere $$t^{2}+1=s(s+1)$$ eşitliğini sağlayan tüm $(s,t)$ sıralı tam sayı ikililerini bulunuz.

[geo]

$$s^2 + s - (t^2 + 1) = 0 \Rightarrow \Delta = 1+4(t^2+1) = T^2$$ $$\Rightarrow T^2 - 4t^2 = 5 \Rightarrow (T-2t)(T+2t)=5$$ $s$ ve $t$ pozitif olduğu için $$T+2t = 5 \text{ ve } T-2t=1$$ $$\Rightarrow t=1 \Rightarrow s^2 + s - 2 = (s+2)(s-1) = 0$$ $$\Rightarrow (s,t) = (1,1)$$

[AtakanCİCEK]

$t^2+1=s.(s+1)$ ifadesini $t^2=s^2+s-1$ şeklinde düşünürsek $s^2<s^2+s-1$ olması için $0<s-1$, $1<s$ olmalıdır.
$s^2+s-1<s^2+2s+1$ olması için ise $s-1<2s+1$, yani $-2<s$ olmaldıır. O halde $s>1$ için
$s^2<s^2+s-1<s^2+2s+1$, yani $(s)^2<t^2<(s+1)^2$  olacağından ardışık iki tam sayının karesi arasında başka bir tam sayının karesi bulunamaz.  O halde $s\le 1$ olmalıdır. Soruda verilen $s\ge 1$ ifadesinden dolayı $s=1$ olur.
$t^2+1=1\cdot 2$. Yani $t^2=1$, buradan ise $t\ge 1$ olduğu için çözüm kümemiz $\{(1,1)\}$ olarak bulunur.