Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$f: \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ artan bir fonksiyon olsun. Her $u \in \mathbb{R}^{+}$ için $\lbrace f(t)+\dfrac{u}{t}:t>0\rbrace $ kümesinin en büyük alt sınırına $g(u)$ diyelim.

• $x\le g(xy)$ ise $x\le 2f(2y)$
• $x\le f(y)$ ise $x\le g(xy)$

[Metin Can Aydemir]

Tanımlanan kümeye $A_u$ diyelim.

a) $g(u)$, verilen kümenin alt sınırı olduğundan her $t>0$ için $$f(t)+\dfrac{u}{t}\geq g(u)$$ olacaktır. Dolayısıyla eğer $g(xy)\geq x$ ise her $t>0$ için $$f(t)+\dfrac{xy}{t}\geq g(xy)\geq x$$ olmalıdır. $t=2y$ alırsak $$f(2y)+\dfrac{x}{2}\geq x\implies 2f(2y)\geq x$$ bulunur.

b) Aksini kabul edelim. Yani $x\leq f(y)$ ve $g(xy)<x$ olsun. $g(xy)$ alt sınırların en büyüğü olduğundan $x$ sayısı $A_u$'nun bir alt sınırı olamaz. Yani öyle bir $t_0$ vardır ki $$f(t_0)+\dfrac{xy}{t_0}<x$$ Eğer $t_0\geq y$ ise $f$ artan olduğundan, $$x\leq f(y)+\dfrac{xy}{t_0}\leq f(t_0)+\dfrac{xy}{t_0}<x$$ çelişkisi ortaya çıkacaktır. Eğer $y>t_0$ ise $$x<f(t_0)+\dfrac{xy}{y}\leq f(t_0)+\dfrac{xy}{t_0}<x$$ çelişkisi olacaktır. Her durumda çelişki çıktığından baştaki kabulümüz yanlıştır. Eğer $x\leq f(y)$ ise $x\leq g(xy)$ olmalıdır.

[Lokman Gökçe]

Bilgilendirme Notu: Soru metni "(a) ve (b) eşitsizliklerini ispatlayınız" biçiminde tamamlansa daha iyi olurdu. Bununla birlikte, Matematik Dünyası dergisinin eski sayılarından da kontrol ettim ve soru metni yukarıdaki biçimdedir. Biz de orijinal biçimine sadık kalarak, soru metninde herhangi bir değişikliğe gitmedik.