Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde, $m(\widehat{BAD})<90^{\circ}$, $ m(\widehat{BCA})=m(\widehat{DCA})$ dır. $[DA]$ üzerinde $\vert BD\vert =2|DE|$ koşulunu sağlayan $E$ noktasından geçen ve $[CD]$ kenarına paralel olan doğru $[AC]$ köşegenini $F$ noktasında kestiğine göre, $$\dfrac{\vert AC\vert \cdot \vert BD\vert }{\vert AB\vert \cdot \vert FC\vert }=2$$ olduğunu gösteriniz.

[gahiax]

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeni ve $ m(\widehat{BCA})=m(\widehat{DCA})$ olduğundan   $\vert AB\vert =|AD|$ dir.$ABC$ üçgeninde Thales teoremini uygularsak;

$$\dfrac{\vert AE\vert}{\vert AD\vert}=\dfrac{\vert AF\vert}{\vert AC\vert}\Rightarrow  \dfrac{\vert AE\vert}{\vert AB\vert}=\dfrac{\vert AF\vert}{\vert AC\vert}...(1)$$
bulunur.$(1)$ eşitliğinden yararlanarak
$$1-\dfrac{\vert DE\vert}{\vert AB\vert}=1-\dfrac{\vert FC\vert}{\vert AC\vert}\Rightarrow {\vert DE\vert}.{\vert AC\vert}={\vert AB\vert}.{\vert FC\vert} ...(2)$$
bulunur.$(2)$ eşitliği ile birlikte $\vert BD\vert =2|DE|$ olduğundan
 $$\dfrac{\vert AC\vert \cdot \vert BD\vert }{\vert AB\vert \cdot \vert FC\vert }=2$$ olur.

[geo]

Açık şekilde $\dfrac{FC}{AC}=\dfrac{ED}{AD}=\dfrac{\dfrac{BD}{2}}{AB}\Rightarrow 2=\dfrac{AC\cdot BD\ }{AB\cdot FC}$  olduğu görülür.