Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Her $n \in \mathbb{N}$ için $\sqrt{n}$ sayısına en yakın tam sayıya $a_{n}$ diyelim. Buna göre $$\sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{1}{a_{n}^{3}}}$$ toplamını hesaplayınız.

[geo]

$\dots {\left(k-1\right)}^2,{\left(k-1\right)}^2+1,\dots ,{\left(k-1\right)}^2+r,\ \dots ,k^2,\dots $ dizisinin kökünü alalım.

$\left(k-1\right)+0.5\le \sqrt{{\left(k-1\right)}^2+r}$  eşitsizliğini sağlayan en küçük $r$ sayısını bulalım.

$k^2-k+\dfrac{1}{4}\le k^2-2k+1+r\Rightarrow k-\dfrac{3}{4}\le r\Rightarrow k\le r$ elde edilir. Bu durumda $k^2-k+1$ den $k^2+k$ ya kadar tüm terimlerin karekökü $k$ olacaktır. Soruda verilen ifadeyi yeniden düzenlersek $\sum^{\infty }_{n=1}{\dfrac{1}{a^3_n}}=\sum^{\infty }_{k=1}{\sum^{k^2+k}_{n=k^2-k+1}{\dfrac{1}{a^3_n}}}=\sum^{\infty }_{k=1}{\dfrac{2k}{k^3}}=2\cdot \sum^{\infty }_{k=1}{\dfrac{1}{k^2}=2\cdot \dfrac{{\pi }^2}{6}<4}$. Serinin değeri $\dfrac{{\pi }^2}{6}$; fakat integral ile en azından $1+\int^{\infty }_1{\dfrac{1}{x^2}=2}$ den küçük olduğunu bulabiliriz.