Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1993 Soru 3  (Okunma sayısı 3620 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1993 Soru 3
« : Ağustos 06, 2013, 03:21:52 öö »
$n$ pozitif bir tamsayı ve $A=\{1,\ldots ,n\}$ olsun. $f:A\to A $ ve $\sigma :A\to A$ gibi iki permütasyon için, eğer $(f \circ\sigma )(1),\ldots,(f \circ \sigma )(k)$ artan ve $(f \circ\sigma )(k),\ldots,(f \circ\sigma )(n)$ azalan bir dizi olacak şekilde bir $k \in A$ var ise, $f,\sigma $ 'ya göre "tek tepeli''dir diyeceğiz. $S_{\sigma }$ ile $\sigma $'ya göre tek tepeli permütasyonların kümesini gösterelim.
$n\ge 4$ ise, $ S_{\sigma }\cap S_{\pi }=\phi $ olacak şekilde $\sigma $ ve $\pi $ permütasyonlarının var olduğunu gösterelim.
« Son Düzenleme: Ekim 17, 2013, 10:17:36 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: 3
« Yanıtla #1 : Ağustos 15, 2013, 07:33:40 öö »
$\sigma \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1}\genfrac{}{}{0pt}{}{2}{2}\genfrac{}{}{0pt}{}{3}{3}\genfrac{}{}{0pt}{}{4}{4}\dots \genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n}\right)$ ve $\pi \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{2}\genfrac{}{}{0pt}{}{2}{1}\genfrac{}{}{0pt}{}{3}{4}\genfrac{}{}{0pt}{}{4}{3}\genfrac{}{}{0pt}{}{5}{5}\dots \genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n}\right)\ $olsun. $\left(f\circ \sigma \right)$ nın ilk dört elemanı tek tepeli bir diziliş gösterecek. Bu dört sayıyı $a<b<c<d$ ile göstermek yerine $1<2<3<4$ ile gösterirsek, tek tepelilik özelliğini takip daha kolay olacaktır.
$$\left(1,4,3,2\right)  \left(2,4,3,1\right) \left(3,4,2,1\right) \left(1,2,4,3\right) \left(1,3,4,2\right) \left(2,3,4,1\right) \left(1,2,3,4\right) \left(4,3,2,1\right)$$

Görüldüğü gibi  $4$ elemanla $8$ farklı şekilde tek tepeli bir diziliş oluşturabiliyor.

$\left(f\circ \pi \right)$ fonksiyonunun bu ilk dört elemanı

$\left(4,3,2,3\right)$  $\left(4,2,1,3\right)$ $\left(4,3,1,2\right)$ $\left(2,1,3,4\right)$ $\left(3,1,2,4\right)$ $\left(3,2,1,4\right)$ $\left(2,1,4,3\right)$ $\left(3,4,1,2\right)$ şeklinde olacaktır. Bu durumda $f$, $\sigma $'ya göre tek tepeli iken; $\pi $'ye göre tek tepeli değildir. Bu durumda $S_{\sigma }$ kümesinin hiçbir elemanı $S_{\pi }$ kümesinde yer almaz. Yani $S_{\sigma }\cap S_{\pi }=\varnothing  $ dır.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 08:15:25 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal