Tübitak Lise 2. Aşama 1993 Soru 1

[Lokman Gökçe]

On tabanına göre yazılışı $1994$ ile biten ve bir $n\ge 1$ tamsayısı için $1994\cdot 1993^{n}$ şeklinde olan bir tamsayının varlığını gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

Son dört basamağın $1994$ olması için $1994 \cdot 1993^n \equiv 1994 \pmod{10000}$ gerekli ve yeterlidir. $(1993,10000)=1$ olduğundan Euler Teoremi'ni uygulayabiliriz.

$\phi (10000) = (5^4-5^3) \cdot (2^4-2^3)=4000 $ olduğundan $n=4000$ için $1993^n =1993^{4000} \equiv 1 \pmod{10000}$ elde edilir. Bu denkliğin her iki yanı $1994$ ile çarpılırsa $1994 \cdot 1993^{4000} \equiv 1994 \pmod{10000}$ bulunur.

NOT: $k$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $n=4000k$ şeklindeki her tamsayı için $1994 \cdot 1993^n \equiv 1994 \pmod{10000}$ olduğundan, aranan özellikte sonsuz çoklukta $n$ değeri olduğunu söyleyebiliriz.