teğet daireler {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

|BD| = |EF| olduğunu gösteriniz.
 
Daireler arasında kalan bölgenin alanının bu uzunluklar cinsinden ifadesini belirleyiniz.

[geo]

Arşimet'in Arbelosu
http://en.wikipedia.org/wiki/Arbelos
http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/arsimet'in-lemmalar-kitabi/msg10090/#msg10090
Arbelos = Shoemaker's Knife = Kunduracı Bıçağı diye çevrilebilir.
Bizde ise kunduracı bıçağı = falçata'dır (bulmacalar sağ olsun).

Soruya gelirsek,
Çözüm 1:
EF yi görmeyelim. AD çemberi X'te, CD çemberi Y'de kessin.  Çapı gören çevre açılardan XDYB bir dikdörtgendir. XY=BD dir. Dikdörtgenin merkezi P ise, PX=PB=PY olduğu için XY çemberlere teğettir. Bu durumda E=X, F=Y ve EF=XY=BD dir.

Çözüm 2:
AB=2x çaplı çemberin merkezi O₁, BC=2y çaplı çemberin merkezi O₂ olsun. O₁EFO₂ dik yamuğunda EF²=(x+y)²-(y-x)²=4xy.
ADC dik üçgeninde Öklit'ten BD²=2x.2y=4xy=EF²⇨BD=EF dir.

AC=2x+2y olduğu için arada kalan alan (π/2)[(x+y)²-x²-y²]=πxy=π(BD/2)² elde edilir.