Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 10

[Lokman Gökçe]

$24$ fazlası $27$ ile, $27$ fazlası $24$ ile tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 10 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Aradığımız sayı $n$ olsun. $n+24 \equiv 0 \pmod{27}$ ve $n+27 \equiv 0 \pmod{24}$ yazılabilir. $k, t$ birer tam sayı olmak üzere $n=27k + 3$ biçimindedir.

Bu değeri $n+27 \equiv 0 \pmod{24}$ denkliğinde yazarsak $27k+3+27 \equiv 0 \pmod{24}$ olup denkliği $3$ ile sadeleştirirsek $9k \equiv -2 \pmod{8}$ olur. Buradan $k\equiv 6 \pmod{8}$ ve $k=8t+6$ dır.

Bu değeri $n=27k+3$ eşitliğinde yazarsak $n=216t + 165$ elde ederiz. $t=0$ için en küçük pozitif değer $n=165$ olup rakamlarının toplamı $1+6+5=12$ dir.