Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 05

[AtakanCİCEK]

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde $m(\widehat{BDC})=m(\widehat{EDA})$ olacak biçimde bir  $E$ noktası alınıyor.
$[BD]$ doğru parçasının orta noktası $F$ olmak üzere, $|AD|=6$ ve $|BE|=9$ ise, $|EF|$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt{2} \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{6}\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt{5} $

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{C}$

$|AE|=x$ birim yazıp $m(\widehat{BDC})=m(\widehat{EDA})=a$ diyelim. $ADE$ ve $BDC$ üçgenlerinden $\tan a$ değerlerini eşitleyelim.  $\tan a=\dfrac{x}{6}=\dfrac{6}{9+x}$ denkleminden $x=3$ birim olarak bulunur. Daha sonra dik üçgenler ve $F$ nin orta nokta olduğu kullanılarak $EDB$ üçgeninin kenar uzunlukları bulunur.
Kenarortay teoremini kullanalım.
$|EF|^2=\dfrac{|EB|^2+|ED|^2}{2}-|DF|^2$
$|EF|^2=\dfrac{81+45}{2}-45=18$
$|EF|=3\sqrt{2}$ elde edilir.