Tübitak Lise Takım Seçme 2020 Soru 8

[Eray]

$0<x, y, z<1$ eşitsizliğini sağlayan $x, y, z$ gerçel sayıları için$$\dfrac{x y z(x+y+z)+(x y+y z+z x)(1-x y z)}{x y z \sqrt{1-x y z}}$$ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)

[berksel03]

Cevap: $\boxed{6}$

Sırasıyla Aritmetik-Geometrik ve Aritmetik-Harmonik ortalama eşitsizlikleri ile, $$\begin{array}{lcl}
\dfrac{xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)({1-xyz)}}{xyz \sqrt{1-xyz}} &=& \dfrac{x+y+z}{\sqrt{1-xyz}}+( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\sqrt{1-xyz}
\\ &\geq & 2\sqrt{(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}
\\ &\geq & 2\sqrt{9}=6
\end{array}$$ buluruz. Eşitlik durumunu inceleyelim. Aritmetik-Harmonik eşitsizliğin eşitlik durumu için, $x=y=z$ olmalıdır. Bunu Aritmetik-Geometrik eşitsizliğe giren terimlere yazıp eşitlersek, $\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^3}}=\dfrac{3\sqrt{1-x^3}}{x}$. Burayı düzenlersek, $x^3+x^2-1=0$. Bu denklemin $(0,1)$ aralığında kökü olduğunu göstermek eşitlik durumunun sağlandığını göstermeye yeterli olacaktır. $x=0$ noktasında polinom $-1$ değerini alır. $x=1$ noktasında ise $1$ değerini aldığından, sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereğince, polinomun $(0,1)$ aralığında kökü vardır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Farklı bir cevap verelim. İki defa aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği uygularak

$$\dfrac{x y z(x+y+z)+(x y+y z+z x)(1-x y z)}{x y z \sqrt{1-x y z}}=\dfrac{x+y+z}{\sqrt{1-xyz}}+\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\sqrt{1-xyz}$$
$$\geq 2\sqrt{\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{xyz}}\geq 2\sqrt{\dfrac{9xyz}{xyz}}=6$$

elde ederiz. $6$ nın minimum değer olduğunu göstermek için, eşitlik durumu analizi yapmalıyız. Bunun için, önceki çözümde olduğu gibi $$ \dfrac{3x}{\sqrt{1-x^3}}=\dfrac{3\sqrt{1-x^3}}{x} $$ denkleminin $(0,1)$ aralığında kökü olduğunu göstermek yeterlidir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş 1
$a,b,c$ pozitif reeler ve $0<x,y,z<p$ olmak üzere

$$\dfrac{xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)(p^3-xyz)}{xyz\sqrt{p^3-xyz}}$$

olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Genelleştirilmiş 1
$a,b,c$ pozitif reeler ve $0<x,y,z<p$ olmak üzere

$$\dfrac{xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)(p^3-xyz)}{xyz\sqrt{p^3-xyz}}$$

olduğunu gösteriniz.


Çözüm: Önceki çözümlerde kullanılan adımları takip etmek yeterli olacaktır. Sırasıyla aritmetik-geometrik ortalama ve aritmetik-harmonik ortalama eşitsizliklerini kullanırsak

$$ \dfrac{xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)({p^3-xyz)}}{xyz \sqrt{p^3-xyz}}= \dfrac{x+y+z}{\sqrt{p^3-xyz}}+( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\sqrt{p^3-xyz} \geq 2\sqrt{(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})} \geq 2\sqrt{9}=6 $$

elde edilir. İfadenin  minimum değerinin gerçekten $6$ olmasını sağlayan uygun $x,y,z$ sayılarının varlığını da ispat etmeliyiz. (Aksi halde çözüm eksik kalır.)


Bu da, $x=y=z$ ve  $\dfrac{x+y+z}{\sqrt{p^3-xyz}} = ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\sqrt{p^3-xyz} $ eşitliklerinin sağlayan $x$ değerinin belirlenmesi ile halledilir. $\dfrac{3x}{\sqrt{p^3-x^3}} = \dfrac{3\sqrt{p^3-x^3}}{x}$ olup $x^3+x^2-p^3=0$ denklemine ulaşırız. $P(x)=x^3+x^2-p^3$ dersek $P(0)=-p^3$, $P(p) = p^2$ olduğundan, sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereğince $P(x) = 0$ denkleminin $(0,p)$ aralığında kökü vardır. Böylece ispat tamamlanmıştır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ pozitif reeller ve $0<a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}<p$ olmak üzere

$$\dfrac{\prod{a_{1}}.\left(\sum_{cyc}{a_{1}}\right)+\left(\sum_{cyc}{a_{1}a_{2}}\right).\left(p^n-\prod{a_{1}}\right)}{\prod{a_{1}}\sqrt{p^n-\prod{a_{1}}}}\geq 2n$$

olduğunu gösteriniz.