2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1

[Lokman Gökçe]

$a$ ve $b$ tamsayılar olmak üzere, $s=a^2+b^2 - 6ab \geq 53$ ise, $s$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): $a+b=c$ dersek $s=(a+b)^2-8ab \equiv c^2 \pmod{8} $ olur. $c$ tamsayısı için, $c \equiv 0, \mp 1, \mp 2, \mp 3, 4 \pmod{8}$ olduğundan $c^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{8}$ olur. Böylece $s\equiv c^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{8} $ dir. Böylece $s\geq 53$ koşulu için uygun değerler $s \in \{ 56, 57, 60, 65, 68, \dots \}$ biçimindedir. Biz $s=56$ için uygun örnek bulursak problemi çözmüş oluruz.

$s=56$ olması için $c=8k$ veya $c=8k+4$  ($k\in \mathbb Z$) olmalıdır. $c=8k+4 = 12$ için $a+b=12$ dir. Denklemde yazarsak $12^2 - 8 ab =56 $ olup $ab=11$ dir. Buradan $a=11$, $b=1$ örnek durumu bulunur. Gerçekten $a=11$, $b=1$ için $s=11^2 +1 ^2 - 6\cdot 11\cdot 1 = 56 $ ve $s_\min = 56$ olur. $\blacksquare $