Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Bir $ABCD$ paralelkenarında $\widehat{A}$ açısı dar açı olup, $[AC]$ köşegeni çap alınarak çizilen çember $CB$ ve $CD$ doğrularını $E$ ve $F$ noktalarında kesmektedir. Bu çemberin $A$ noktasındaki teğeti, $BD$ doğrusunu $P$ noktasında kesiyorsa; $P,F,E$ noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$BD$ ile $AC$ nin kesişimi $O$ olsun. $BC$ ye paralel olan ve $P$ den geçen doğru $AC$ yi $Q$ da kessin. $CD$ ye paralel olan ve $O$ dan geçen doğru $PQ$ yu $M$ de kessin.

$MO$ doğrusu $BCO$ üçgeninde kenarortay, $PQ\parallel BC$ olduğu için de $PQO$ üçgeninde de kenarortay olacaktır. $MO$ ile $AF$, $R$ de kesişsin. $MR\parallel CD$ ve  $AO=OC$ olduğu için $AR=RF$ ve $MR\bot AF$ dir. Bu durumda $MR$, $AF$ nin orta dikmesidir. Dolayısıyla $MA=MF$ dir. $\angle PAQ={90}^{\circ }$ olduğu için $PM=MQ=MA=MF$ yani $M$ nin $P,Q,F,A$ dan geçen çemberin merkezi olduğu sonucu çıkar. Paralel doğrulardan dolayı $\angle CAD=\angle BCA=\angle PQA$, $ECFA$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle EFA=\angle BCA$, $PQFA$ kirişler dörtgeni olduğu için de $\angle PFA=\angle PQA$ olur. Son durumda $\angle EFA=\angle PFA$ olduğu için $P,F,E$ noktaları doğrusal olur.

[ERhan ERdoğan]

$PB$ doğrusuna $[AK]$ dikmesini inelim. $\angle{AEC}=m\angle{AFC}=90^{\circ}$ olduğundan $AEBK$ ve $AEDK$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir.
Buna göre; $\angle{AKE}=\angle{ABE}=\angle{ADE}=\angle{AKF}$ dir.
Bu aşamadan sonra şekil-II deki probleme çözüm arayacağız.

Problem : $[PA , O$ merkezli çemberin teğeti ve $[AT]$ bir kirişi olmak üzere, $[OP]\perp[AT]$ ve $|AK|=|KT|$ dir.
Çember üzerinde alınan $E$ ve $F$ noktaları için, $\angle{AKE}=\angle{AKF}$ ise, $P-F-E$ noktaları doğrusaldır.

$OKE$ ve $OKS$ üçgenlerinin eşliğinden $\angle{EON}=\angle{SON}$ olur ve $\angle{EFS}=\angle{EON}$ dir. Buna göre $EOKF$ bir kirişler dörtgenidir.

$O$ dan $[EF]$ ye çizilen dikme ile $KA$ nın kesim noktası $R$ olsun. $|RE|=|RF|$ dir. $KR$ ve $OR$ açıortay olduğundan $OERF$ bir kirişler dörtgenidir. $\angle{REF}=\angle{RFE}=\angle{ROE}=\angle{ROF}$ olduğundan $RE$ ve $RF$ çembere teğettir.
Buna göre, $EF$ doğrusu $R$ nin kutup doğrusudur. $R$ noktası $P$ nin $AK$ kutup doğrusu üzerinde olduğundan, $P$ noktasıda $R$ nin $EF$ kutup doğrusu üzerinde olmalıdır.