Oyak Matematik Olimpiyatı-3 {Çözüldü}

[Abdullah_71]

Oyak sorularını ayrı ayrı değil de hepsini bir dosya olarak gönderirseniz seviniriz.Bu arada luzumlu değilse jpeg tercih etmeyiniz; gif formatı makbule geçer.Bir de aynı başlığı kullanmayınız  lütfen.Alper

[tanermeral]

n=4 için cevap hayır.
sayıları a1=2 , a2=2^2  , a3=2^4  ve a4=2^5   seçersek bunların tam küp olmadığını görürüz...

[tanermeral]

2009 için hayır ama 2010 için evet.
sayılarımızın üzlerini düşünelim.ya 3k+1 yada 3k+2 şeklinde olmalıdır.eğer çift sayıda alırsak ardışık çarpımları tam küp olur

[Abdullah_71]

Hocam biz
n=4 için gerekmez.
n=2009 için gerekir.
n=2010 için gerekmez.
Modüler aritmetikten gittik.

[tnra81]

şimdi hocam ben de bu sınava katıldım ve cevabımı sizlerle paylaşmak istiorum eğer n=4 için işlem yaparsak:

(A1.A2)(A2.A3)(A3.A4)A4.A1) oluyor dimi....
bize denen o ki ikili çarpımlarının her biri bir tam küpmüş dimi  o zaman bunu sonucu tam küptür...

bu durumda çarpanlara ayırmanın değişme özelliğini kullanırsak
(A1.A2)(A2.A3)(A3.A1)(A4.A4) olmaz mı?

buradan da:
(A1.A2)(A2.A3)(A3.A1) bir tam küp çıkıor yine...
ve bunun yanında
(A4.A4) çıkıor.
bu sonucun tam küp olabilmesi için A4 ün tam küp olması gerekir çünkü:

bir tam küp * bir tam kare hiç bir zaman bir tam küp vermez ama

A4 sayısı bir tam küp olsa

Bir tam küp*bir tam kübün karesi her zaman tam küp verir.

bu yüzden de n=4 için her biri tam küp olması gerekir arkadaşlar vede değer vererek bulamayız bu soruyu

                                   

[Abdullah_71]

Yalnız soru da dizi kelimesi kullanılmamış yani bir çarpana göre gidip gitmediği belli değildir.n=4 için çok açıktır ki sayıların tam küp olması gerekmez.
Zaten n=4 için yazılabilir diğer şıklar için belli birdenklem bulduk biz ona göre yaptık sonrada üsleri  mod3 e göre uyarladık.

[firstexample_71]

bu soruda şöyle yapmıştık abdullahın dediği gibi modu kullanmıştık.
n=4için herbir sayının küp olmadığı açıktır.

n=2009 için ise şöyle bir şey bulduk:
an=xüzeri 2 üzeri n-1 şeklinde olsa
a1=x
a2=xüzeri2
a3=x üzeri 2 üzeri2

a2009=xüzeri 2üzeri2008 olur  a1.a2, a2.a3,...... küp olur fakat  a2009.a1=x üzeri 2 üzeri2008 +1 küp olamaz  çünkü 2üzeri 2008 +1 mod3 te 2 olur bundan dolayı herbirinin küp olması  gerekir

n=2010 için ise yine aynı kural üzerinden gidersek
a1=x
a2=xüzeri2
a3=xüzeri2üzeri2



a2009=x üzeri 2 üzeri 2008
a2010=xüzeri 2 üzeri 2009 olur   buradan a1.a2,a2.a3,........... küp olduğu açıktır bizim için önemli nokta an.a1 in küp olması bakıyoruz a2010.a1=x üzeri 2 üzeri 2009 +1 üssünü de mod3 te alırsak mod3 te 0 olduğu için bir tamsayının kübü olur.n=2010 için her bir sayının tam küp olması gerekmez

[firstexample_71]

tnra81 arkadaşım
n=4 için herbirinin küp olmadığı çok açıktır.
çünkü;
a1=x
a2=xüzeri2
a3=x üzeri4
a4=x üzeri 8 olsa a1.a2=x üzeri3  a2.a3=x üzeri6  a3.a4=x üzeri12  a4.a1=x üzeri9  olur yada
a1=2
a2=4
a3=2
a4=4 şeklinde olsa bile n=4 için herbirinin küp olması gerekmez.

 bu arada hangi okuldan katıldın?

[Ferhat GÖLBOL]

Hocam
 a₁ =x , a₂ =x² ve
a_2k =x² , a_2k+1 =x alırsak,n=çift sayı için ardışık iki terimin çarpımı x³ eder. Ayrıca ilk terim x ve son terim x² olduğundan a₁*a_n=x³ olur. Dolayısıyla n=çift sayı için koşul sağlanır.

Öte yandan n=tek sayı ise;
A_n³  , a_n'deki tam küp olan ifadeyi göstermek üzere,
a₁ = A₁³ *x ise
a₂ = A₂³ *x² ve a₃ = A₃³ *x olmalıdır.
a_2k = A_2k³ *x² ,
a_2k+1 = A_2k+1³ *x ve
a₁ = A₁³ *x
a_n = A_n³ *x olacağından a₁ * a_n = (A₁*A_n)³ *x² bir tam küp olmaz.
Benzer şekilde a₁ = A₁³ *x² alınırsa
a_2k = A_2k³ *x ,
a_2k+1 = A_2k+1³ *x² ve
a₁ = A₁³ *x²
a_n = A_n³ *x² olacağından
 a₁ * a_n = (A₁*A_n)³ *x⁴ de bir tam küp olmaz. Dolayısıyla n=tek sayı ise verilen koşul sağlanmaz.