Öncelikle problemi kenar uzunlukları olmadan genel halde çözelim:
$ABD$ üçgeninde $[BI]$ve $DK$ iki yüksekliktir. $H_B$ diklik merkezi olduğundan $m(\widehat{BH_BD})=m(\widehat{KH_BI})=180^\circ - m(\widehat{BAD})$ dir. Ayrıca $BH_BDP$ kirişler dörtgeninde $m(\widehat{BH_BD})=180^\circ - m(\widehat{BPD})$ dir. Böylece
$m(\widehat{BAD})=m(\widehat{BPD}) \tag{1}$
eşitliği elde edilir. Benzer biçimde, $ADC$ üçgeninde $H_B$ diklik merkezi olduğundan $m(\widehat{CAD})=m(\widehat{CH_CD})$ dir. $CDH_CP$ kirişler dörtgeni olduğundan $m(\widehat{CH_CD})=m(\widehat{CPD})$ dir. Böylece
$m(\widehat{CAD})=m(\widehat{CPD}) \tag{2}$
elde edilir. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerinden
$m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BPC}) \tag{3}$
sonucuna ulaşılır. $P$ noktası $[BC]$ kenarını sabit bir açı ölçüsü olan $m(\widehat{BAC})$ altında gördüğünden, $P$ noktası bir çember yayı üzerindedir.
Öte taraftan, $H_B$ ve $H_C$ diklik merkezleri olduklarından $A$ dan $BC$ ye inen dikme üzerinde bulunurlar. $m(\widehat{H_BPD})=m(\widehat{H_BBD}) =m(\widehat{H_BAD})=m(\widehat{H_CAD}) = m(\widehat{H_CCD}) = m(\widehat{H_CPD})$ olup
$m(\widehat{H_BPD})=m(\widehat{H_CPD}) \tag{4}$
elde edilir. Buna göre, $A, H_B,H_C, P$ noktaları doğrusaldır. Bu eşitliklere göre $P$ noktası sabit kalmaktadır ve yeri, $A$ noktasının $BC$ ye göre simetrisidir.
Özel olarak, problemdeki sayısal verilere geri dönersek $Alan(BPC)=Alan(BAC)=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8 \cdot \sin60^\circ = 10 \sqrt {3}$ olur.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=3725.0;attach=15288;image)