Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 25

[ERhan ERdoğan]

$m (\widehat{BAC})=90^{\circ} , |AB|=1$ ve $|AC|=\sqrt{2}$ olan bir $ABC$ üçgeniyle aynı düzlemde yer alan $P$ ve $Q$ noktaları $|PB|=1=|QB| , |PC|=2=|QC|$ ve $|PA|>|QA|$ koşullarını sağlıyorsa $|PA|/|QA|$ oranı nedir?


$
\textbf{a)}\ \sqrt{2}+\sqrt{3}
\qquad\textbf{b)}\ 5-\sqrt{6}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{6}-\sqrt{2}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{6}+1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

Soruyu çizelim.
$P$ ve $Q$ noktaları $C$ merkezli $2$ yarıçaplı çember üzerindedir.
$P$ ve $Q$ noktaları, aynı zamanda, $B$ merkezli $1$ yarıçaplı çember üzerindedir.
Bu durumda, $P$ ve $Q$ noktaları $B$ merkezli bir çember ile $C$ merkezli bir çemberin kesişim noktalarıdır.
$ABC$ üçgeninde pisagordan $BC=\sqrt 3$ çıkar. $\triangle QBC$ üçgeninde kenarlar $1-\sqrt 3 - 2$ dir. Bu durumda $\angle QBC = 90^\circ$. Benzer şekilde $\angle PBC = 90^\circ$ dir. Bu durumda, $B$ noktası $QP$ üzerinde olacaktır.
$PA/QA = x$ ve $\angle QPA = \alpha$ dersek $\tan \alpha = 1/x$ olacaktır.
$2 \cdot \angle QPA = \angle QBA = \angle ACB = 2\alpha $ dır. $\tan 2\alpha = \dfrac {1}{\sqrt 2}$ olduğunu biliyoruz.
$$\tan 2\alpha = \dfrac {2\tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha} \Rightarrow  \dfrac {1}{\sqrt 2} = \dfrac{2 \cdot \frac 1x}{1 - \frac 1{x^2}} = \dfrac{2x}{x^2-1}$$ olacaktır. $x^2-2x\sqrt 2 -1 = 0$ denklemini çözdüğümüzde $x = \sqrt 2 \pm \sqrt {3}$ çıkacaktır. Negatif değer eleneceğinden $x=\sqrt 2 + \sqrt 3$ tür.