Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 12

[ERhan ERdoğan]

$0\leqslant a,b,c,d \lt 7$ olmak üzere, $7$ nin $ab-cd$ yi bölmesini sağlayan kaç $\left(a,b,c,d\right)$ dörtlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 412
\qquad\textbf{b)}\ 385
\qquad\textbf{c)}\ 294
\qquad\textbf{d)}\ 252
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt $\boxed {B}$

Modülo $7$ de çarpım tablosunu oluşturalım. Aşağıdaki tabloda yeşil bölgedeki her bir eleman $0$ a denktir. $7$ asal sayı olduğundan modülo $7$ de, $0$'ın atılmasıyla oluşan çarpım sisteminde asla $0$ elde edilemez ve sarı ile renklendirilmiş bölgede her bir satırda her bir eleman yalnızca bir kez görülür.

Dolayısıyla $ab \equiv 0 \pmod{7}$ ve $cd \equiv 0 \pmod{7}$ olmasını sağlayan $13\cdot 13 = 169$ tane $(a,b,c,d)$ dörtlüsü vardır.

$ab \equiv cd \equiv 1 \pmod{7}$ olmasını sağlayan $6\cdot 6 = 36$ tane $(a,b,c,d)$ dörtlüsü vardır.

$ab \equiv cd \equiv 2 \pmod{7}$ olmasını sağlayan $6\cdot 6 = 36$ tane $(a,b,c,d)$ dörtlüsü vardır...Benzer biçimde

$ab \equiv cd \equiv 6 \pmod{7}$ olmasını sağlayan $6\cdot 6 = 36$ tane $(a,b,c,d)$ dörtlüsü vardır.

Toplam $169 + 6\cdot 36 = 385$ tane $(a,b,c,d)$ dörtlüsü elde edilir.