Tübitak Lise Takım Seçme 2014 Soru 5

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktasını merkez alan bir çember $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarını sırasıyla, $A_1$ ve $A_2$, $B_1$ ve $B_2$, $C_1$ ve $C_2$ noktalarında kesiyor. $A_1$, $A_2$, $P$ noktalarından geçen çemberin merkezi $A'$ noktası; $B_1$, $B_2$, $P$ noktalarından geçen çemberin merkezi $B'$ noktası; $C_1$, $C_2$, $P$ noktalarından geçen çemberin merkezi de $C'$ noktası olmak üzere, $AA'$, $BB'$, $CC'$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.

(Mehmet Eren Durlanık)

[geo]

İddia:

$\dfrac{[ABP]}{[ABA']} = \dfrac{[CBP]}{[CBC']}$

İddia doğruysa $$\dfrac{[ABA']}{[ACA']} \cdot \dfrac{[ACC']}{[BCC']} \cdot \dfrac{[BCB']}{[ABB']} = \dfrac{[ABP]}{[ACP]}\cdot \dfrac{[ACP]}{[CBP]} \cdot \dfrac{[BCP]}{[ABP]} = 1$$ olacağı için $AA'$, $BB'$, $CC'$ doğruları noktadaş olacaktır.

İddiamızın doğruluğunu gösterelim:

$A_1A_2$ nin orta noktası $A_3$ olsun. $A_3 \in PA'$ dür. Benzer şekilde $B_3$, $C_3$ noktalarını tanımlayalım.

$PA_3$ ile $AB$ doğruları $X$ noktasında, $PC_3$ ile $BC$ doğruları $Y$ noktasında kesişsin.
$C'$ den $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $Z$, $A'$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $W$ olsun.

$A'$ merkezli çember ile $C'$ çemberin merkezlerini birleştiren doğru bu iki çemberin $BP$ kuvvet eksenine dik olacaktır. $A'C' \perp BP$.

$BXY$ üçgeninde $P$ noktası diklik merkezidir. Bu durumda $XY \perp BP$ ve $A'C' \parallel XY$, yani $\dfrac{XP}{XA'} = \dfrac{YP}{YC'}$ olacaktır.

$\dfrac{XP}{XA'} = \dfrac{PC_3}{A'W} = \dfrac{[ABP]}{[ABA']}$

$\dfrac{YP}{YC'} = \dfrac{PA_3}{C'Z} = \dfrac{[CBP]}{[CBC']}$

$\dfrac{[ABP]}{[ABA']} =  \dfrac{[CBP]}{[CBC']}$. $\blacksquare$