Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

$xy=1$ koşulunu sağlayan her $x,y$ gerçel sayıları için, $$\left ( (x+y)^{2}+4 \right )\left ( (x+y)^{2}-2 \right )\geq A.(x-y)^{2}$$
eşitsizliği sağlanıyorsa, $A$ sayısının alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 18
\qquad\textbf{e)}\ 20
$

[MATSEVER 27]

Cevap: $\boxed{D}$

$x+y=m$ diyelim. Bizim $\left ( (x+y)^{2}+4 \right )\left ( (x+y)^{2}-2 \right )\geq A.[(x+y)^{2}-4]$ göstermemiz gerekir. $(x+y)^2 \ge 4xy=4$ biliyoruz. O halde $(x+y)^2=m^2=N$ için $\dfrac{(N+4)(N-2)}{N-4}$ en küçük değerini bulmalıyız. $10+(N-4+\dfrac{16}{N-4}) \ge^{A.G.O} 18$ dir. Eşitlik $x=y=\sqrt{17}+4$ için sağlanır. $A \le 18$ idir.