Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 29

[Dogukan6336]

$ \left( \begin{matrix} 2017\\ 1\end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2017\\ 5\end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2017\\ 9\end{matrix} \right) + ... + \left( \begin{matrix} 2017\\ 2017\end{matrix} \right)$ toplamının değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2^{2016} + 2^{1006} \qquad\textbf{b)}\ 2^{2017} - 2^{1007}  \qquad \textbf{c)}\ 2^{2015} + 2^{1005}  \qquad \textbf{d)}\ 2^{2015} + 2^{1007}  \qquad\textbf{e)}\ 2^{2017} - 2^{1008}$

[Dogukan6336]

Yanıt: $\boxed D$

$i^2 = -1$ ve $n=4k+1$ olmak üzere,

$ \left( \begin{matrix} n\\ 1\end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} n\\ 5\end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} n\\ 9\end{matrix} \right) + ... + \left( \begin{matrix} n\\ n\end{matrix} \right) = (1+1)^n - (1-1)^n - i((1+i)^n - (1-i)^n) $

şeklinde olacağından $n=2017$ için sonuç $2^{2015} + 2^{1007}$ bulunur.