Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki ifadelerden hangisi $0<x<1$ ve $0<y<1$ koşullarını sağlayan tüm $x,y$ gerçel sayıları için $x^{3}+y^{5}$ ten küçük değildir?


$
\textbf{a)}\ x^{2}y
\qquad\textbf{b)}\ x^{2}y^{2}
\qquad\textbf{c)}\ x^{2}y^{3}
\qquad\textbf{d)}\ x^{3}y
\qquad\textbf{e)}\ xy^{4}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

Şıklardan giderek bir çözüm yapalım:

$\max (x^2y, x^2y^2, x^2y^3, x^3y) = x^2y$ dir. $A,B,C,D$ şıkları arasından $x^3 + y^5$ ten küçük olmayacak biri varsa o da, bunların en büyüğü $x^2y$ dir.

$y=2x$ alırsak $x^3 + (2x)^5 \le x^2\cdot 2x \Longrightarrow 32x^5 \le x^3 \Longrightarrow x^2 \le \dfrac 1{32} \Longrightarrow x \le \dfrac {1}{4\sqrt 2}$ elde ederiz. O halde $y=2x \le \dfrac{1}{2\sqrt 2}$ için $x^2y \ge x^3 + y^5$ olacaktır.