Yanıt: $\boxed C$
Sayının $2000$ ile $2010$ arasında olamayacağı barizdir.
$i)$ Sayımız $1$ basamaklı ise sadece ${1,2}$ sağlar.
$ii)$ Sayımız $2$ basamaklı ise bu sayı $ab$ olsun.
$ab=a!+b!$ olmalı, $a,b\leq 4$'dür. $a=4$ ise,
$40+b=24+b! \Rightarrow 16+b=b!$ olur fakat bunu sağlayan $b$ yoktur. $b=4$ ise,
$10a+4=a!+24 \Rightarrow 10(a-2)=a!$ olur fakat bunu sağlayan $a$ yoktur. $a,b\leq 3$ için,
$ab=a!+b!\leq 3!+3!=12$ olacağından $a=b=1$ veya $a=1,b=0$ olmalı fakat sağlamaz.
$iii)$ Sayımız $3$ basamaklı ise bu sayı $abc$ olsun.
$abc=a!+b!+c!$ olacağından $a,b,c\leq 6$ olmalı fakat $6!=720$ olduğundan $a,b,c\leq 5$ olmalı.
$a!+b!+c!\leq 5!\cdot 3=360$ olur. Buradan $a\leq3$ bulunur. $a!+b!+c!\leq 3!+5!\cdot 2=246$ olduğundan $a\leq 2$ olmalı.
$a=2$ ise $b=c=5$ olmalı çünkü aksi taktirde $a!+b!+c!\leq 2!+4!+5!=146$ olur ve bu çelişkidir. Fakat $(a,b,c)=(2,5,5)$ şartı sağlamaz.
$a=1$ ise $b$ ve $c$ den en az biri $5$ olmalı çünkü aksi taktirde $a!+b!+c!\leq 1!+4!+4!=49$ olur.
Eğer $b=5$ ise $150+c=121+c! \Rightarrow 29=c!-c$ olur, bunun sağlaması için $29\mid c$ olmalı fakat bu sağlamaz.
$c=5$ ise $105+10b=121+b! \Rightarrow 10b=16+b!$ olur buradan $(a,b,c)=(1,4,5)$ bulunur yani $145$ bu şartı sağlar.
$iv)$ Sayımız $2000\geq 1abc \geq 1000$ ise ,
$a,b,c\leq 6$ olmalı fakat $a,b,c<5$ olursa $1abc=1!+a!+b!+c!<361$ olur ve sağlamaz.$a,b,c$ 'den en az biri $6$ olmalı.
$iva)$ $a=6$ ise $1600+bc=721+b!+c!\Rightarrow 879+bc=b!+c!$ olur. $b$ ve $c$ 'den en az biri $6$ olmalı. $b=6$ ise $939+c=720+c!\Rightarrow 219+c=c!$ olur fakat bu sağlanmaz.
$c=6$ ise $885+10b=720+b! \Rightarrow 165+10b=b!$ olur fakat bu sağlanmaz.
$ivb)$ $b=6$ ise $1060+a0c=721+a!+c! \Rightarrow 339+a0c=a!+c!$ olur.$a$ ve $c$'den en az biri $6$ olmalı fakat $a=6$ için çözüm yoktu. $c=6$ için $1066+100a=a!+720 \Rightarrow 346+100a=a!$ olur fakat buradan çözüm gelmez.
$ivc)$ $c=6$ ise $1006+ab0=721+a!+b! \Rightarrow 285+ab0=a!+b!$ olur.$a=6$ ve $b=6$ için çözüm olmadığından $a,b \leq 5$ olmalı fakat $285 \lt a! +b! $ ile çelişir. Buradan da çözüm gelmez.
Şartı sağlayan sayılar ${1,2,145}$ olmak üzere $3$ tanedir.
