Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 02

[ERhan ERdoğan]

$y^{2}-x^{2}=2y+7x+4$ eşitliğini sağlayan kaç $\left(x,y\right)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[Legendary]

Yanıt: $\boxed{C}$

Eşitliğin her iki tarafını $4$ ile çarpalım:

$4y^2-8y=4x^2+28x+16$

$(2y-2)^2=(2x+7)^2-29$

$(2x+7)^2-(2y-2)^2=29$

$x,y$ pozitif olmak üzere $(2x+2y+5)(2x-2y+9)=29 \Rightarrow 2x+2y=24$ ve $2x-2y=-8$ ise;

$x=4,y=8$ denklemin tek çözümüdür.