Yanıt: $\boxed {A}$
$ABC$ üçgeninin kenarları $a,b,c$ ve yükseklikleri $h_a,h_b,h_c$ olmak üzere $Alan(ABC)=\dfrac{a\cdot h_a}{2}=\dfrac{b\cdot h_b}{2}=\dfrac{c\cdot h_c}{2}$ alan eşitliklerinden $a\cdot h_a=6$, $b\cdot h_b =6$ yazılır. Bu iki eşitlik taraf tarafa çarpılırsa $(a\cdot b)\cdot h_a \cdot h_b = 36$ olur. $a\cdot b \cdot \sin C = 6 $ olduğundan $$h_a \cdot h_b = 6 \cdot \sin C \dots (1)$$ elde edilir.
$(1)$ eşitliğinde $\sin C$ maksimum olduğunda $ h_a \cdot h_b $ çarpımı da maksimum değerine ulaşacaktır. ilk akla gelen yaklaşımlardan biri ''$m(\widehat {C})=90^\circ$ için $\sin C =1$ maksimum olur, bu nedenle cevap $6$ dır'' şeklinde olabilir. Fakat bu yaklaşım maalesef doğru değildir, sırf bu nedenle bile çeldiriciliği yüksek bir sorudur. $[AB]$ çaplı çemberi çizersek yarıçapı $3/2$ olduğundan $C$ noktası bu çemberin dışındadır. Böylece $C$ açısının dar olduğunu anlarız.
Şimdi doğru çözüm yoluna geçelim. $C$ noktasından $AB$ doğrusuna çizilen yükseklik ayağı $H$ olsun. $|AH|=x$, $|BH|=y$ dersek $x+y=3$ tür. $m(\widehat{ACH})=\alpha$, $m(\widehat{BCH})=\beta$ dersek $\sin(\alpha+\beta)$ nın maksimum değerini bulmalıyız. Bunun için $\tan(\alpha+\beta)$ nın maksimum değerini bulmak işimizi kolaylaştırabilir. Toplam formülünden $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}=\dfrac{(x/2)+(y/2)}{1-(xy)/4}=\dfrac{6}{4-xy}$ yazabiliriz. $x+y=3$ olduğundan aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden $xy \leq \dfrac{9}{4}$ olup $\tan(\alpha+\beta) \leq \dfrac{24}{7}$ elde edilir. $7-24-25$ dik üçgeninden dolayı $\sin(\alpha+\beta) \leq \dfrac{24}{25}$ olup $h_a \cdot h_b \leq 6 \cdot \dfrac{24}{25} = \dfrac{144}{25}$ bulunur. Eşitlik durumu $x=y=\dfrac{3}{2}$ iken vardır.
